(1) Solltest Du lieber eine Woche/paar Tage vorher im Forecast nachschauen. Als ich zu der Zeit in Tokyo war wurde es langsam wieder frisch. Für den Sommer gilt 35°C und (sehr) schwül. Kann man nicht so pauschal beantworten denke ich.
(2) Die von mySalsa erwähnten Sachen. Dazu noch
- Shibuya Crossing (direkt aus der Metro Shibuya raus) - täglich von mehr als eine Millionen Menschen überquert. Generell mal durch Shibuya laufen (Viertel für junge Leute)
- Mt Fuji wie von Napo gesagt; der Berg ist für so eine Höhe zum Raufgehen wirklich einfach und den Sonnenaufgang sollte man erlebt haben; dauert meinem Empfinden nach fast 2 Tage da man wie gesagt am ersten Tag auf den Berg geht und, wenn man möchte, dort übernachtet und am Tag darauf diesen zur Erholung nach dem Abstieg braucht. Bin damals 4 Stunden durch Aschefelder abgestiegen und war danach komplett fertig, Sonnenbrand natürlich inklusive.
- Nikko und Kamakura - beides etwa eine Stunde aus der Stadt raus mit dem Zug; fand Nikko besser (jeweils ein Tag)
- Roppongi am Wochenende abends, wenn Du einmal das "schmutzige" Japan erleben willst; hier sind die Ausländer und die Japaner, die Ausländer suchen, zum feiern unterwegs (warnung: nicht mit den schwarzen mitgehen, die dich in clubs und bars locken wollen - klingt selbstverständlich aber ich habe 2 freunde, die das schon gemacht haben - die kollegen sind zum abzocken da und locken dich in clubs in denen ein bier schnell 30 EUR kostet)
- Einmal um Shinjuku rumlaufen - meist genutzter Bahnhof der Welt
- Harajuku am Wochenende, wenn Du Dir die Cosplay-Teenager ansehen willst
- Falls Du Dir die Edel-Straßen ansehen willst (ist aber eher unspektakulär): Ginza (eher traditionell gewachsen) und Omote-Sando (eher modern, hier sind LV, Bulgari, Armani, Prada & Co. präsent)
- Wenn Du Geld hast: Fugu-Menü (Kugelfisch) ausprobieren, war bei mir damals p.P. 80 EUR
- Essen probieren: Natto, Anko, Tempura, Udon, Ramen, Zaru Soba, Onigiri, Yakisoba, Teppanyaki; oft gibt es "Food Courts" in den Kaufhäusern/Department Stores, ein ganzes Stockwerk voller Restaurants. Im Regelfall steht eine Karte mit Bildern und Etagen der Restaurants am Eingang oder an Rolltreppen.
Die Seite hier fasst es sonst ganz gut zusammen, such Dir halt das passende raus:
http://www.japan-guide.com/e/e2164.html
Napo redet vom JR Rail Pass, den Du meines Wissens nur im Ausland, also in Deinem Fall vor Abreise, buchen kannst. Geh einfach auf die JR Seite (Englisch) und gib Deine Ziele ein und schau, ob sich das lohnt. Der Pass gibt Dir quasi unbegrenzt Shinkansen für 1,2 Wochen (je nachdem was Du buchst) - vergleichbar mit unbegrenzt ICE fahren für 1,2 Wochen in Deutschland. Ein Wochenende Kyoto solltest Du auf jeden Fall machen, wenn Du mit klassischen Sachen und Historie etwas anfangen kannst. Hier stehen direkt 14 Weltkulturerbe-Tempel rum.
@Napo: Ich glaube, der Auktions-Bereich ist für Touristen (auch Japanos) geschlossen, weil in letzter Zeit zu viele Touristen da durch gaffen oder gar anfassen genervt haben.