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Vorgehen: Die Menge raten und dann "beweisen, dass sie es tut", würde ich mal sagen.

Welche abzählbar unendlichen Mengen kennst du denn? Dann überleg dir, ob eine Teilmenge davon beschränkt sein könnte.

€dit: Auf R^n mit der Standardtopologie bedeutet abgeschlossen und beschränkt nach dem Satz von Heine-Borel schon kompakt.
Ansonsten gibt es Standardkandidaten für solche Mengen. Kannst ja nochmal fragen, wenn dir nichts einfällt.

Ich könnte ja auch nen Tipp auf die Lösung in nem Rätsel verpacken. ^^

Also für sowas gibt es keine allgemeine Vorgehensweise...überleg dir mal was für beschränkte, abgeschlossene Mengen es gibt und welche Mengen in R^2 abzählbar unendlich viele Häufungspunkte haben (btw, Häufungspunkte in der Menge an sich oder Häufungspunkte in R^2?). Ich hab die Aufgabe irgendwie gelesen als HP in der Menge an sich, also hab ich sowas dann mit was abgeschlossen, beschränkten geschnitten, habe gemerkt dass die Schnittmenge nicht abgeschlossen ist und überlegt woran das liegt. Habe mir daraus dann ne kleinere Teilmenge rausgenommen, die dann auch abgeschlossen ist und die auch nur abzählbar viele HP in R^2 hat (obwohl ich da eigentlich nicht darauf geachtet habe).

Die Menge soll beschränkt sein, also bspw. oBdA geschnitten mit [0,1].
Dann soll die Menge abzählbar unendlich in [0,1] sein, d.h. gleichmächtig wie Q bzw. N. Damit fällt die Cantor-Menge als Kandidat raus, weil sie gleichmächtig wie R, d.h. überabzählbar unendlich, ist.

Man kann ja bspw. mal so anfangen: Tut es 1/n? Wenn nein, was fehlt noch?

he wie isn jetzt die lösung das interessiert mich jetzt auch. omg ich muss aus schwaben weg ich krieg schon eine genauso beschränkte interessenstruktur. mir wurde übrigens erklärt das das beschränktsein ist ein problem der baden würtemberger generell, die sind schon vom gleichen schlag, die badener sind halt etwas dümmer, die schwaben noch ein bisschen zwanghafter.

€: http://www.youtube.com/watch?v=IOXvvnMetII das mit den bonbonpapieren ist das geilste das bringts einfach auf den punkt

Ach ja, wir hattet ihr denn Häufungspunkte definiert? Abhängig davon ist die Aufgabe recht einfach oder ein bisschen anspruchsvoller.
Ist jeder isolierte Punkt auch schon Häufungspunkt (triviale Folge, die konstante Folge), oder ist er es nicht? Dies unterscheidet sich bei verschiedenen Lehrbüchern, je nachdem, ob man in us-amerikanischer (und zumeist auch deutscher) oder französischer Tradition ist.

Ich selbst halte es eher mit der französischen Tradition, leichte Bourbaki-Einflüsse beim Ana-lernen. ^^

Ein isolierter Punkt ein Häufungspunkt? Das ergibt ja mal überhaupt keinen Sinn.

Klar, wieso nicht? Gibt ja die konstante Folge, und in jeder Umgebung um diese liegen auch unendlich viele Folgenglieder. Anders gesprochen, für jede Umgebung und jeden Index m gibt es einen Index n>m, so dass das n-te Folgenglied in der Umgebung liegt.

Wenn du ansonsten nen isolierten Punkt hast, gehört dieser nicht mit zum Rand.

Wenn jeder isolierte Punkt nen Häufungspunkt ist, dann ja. Genau so dachte ich es mir, dass man halt die 0 noch mit hinzunehmen muss.
Ansonsten reicht es aber, die Punkte (x,0) zu betrachten, d.h. sich nur auf der reellen Achse zu bewegen. Deswegen weiß ich nicht, was hier R^2 für Mehrwert bietet.

So Napo, jetzt komm mit deiner Definition von Häufungspunkt mit ner ähnlich einfachen Lösung. ^^

Also erstmal wenn man HP einer Menge über Folgen definieren will, dann muss es mit Sicherheit für alle Folgen sein, und nicht nur für die Konstante. Eure Definition ergibt auch insofern keinen Sinn, da dann jeder Punkt ein Häufungspunkt ist, warum sollte man sowas überhaupt definieren. Und selbstverständlich gehört ein isolierter Punkt zum Rand.


Meine Lösung ist {(1/n, 1/k) n, k in N} vereinigt mit {0}, damit die Menge auch abgeschlossen ist.

Die Wiki-Def widerspricht auch stark der, isolierter Punkt zu sein, ... Napos Menge triffts da eher

Ja, in Wiki sind sie der anderen Def gefolgt, nach Rudin et al. Aber Bourbaki ist ja nun auch nicht schlecht, dazu (glaube ich) die recht neuen Ana-Lehrbücher von Amann/Escher, auf Bourbaki aufbauend und in einem sehr klaren Stil.

@Napo: Wie willst du es denn "für alle Folgen" definieren? Nehmen wir die Menge der rationalen Zahlen in [0,1] und a=sqrt(2)/2. Dann gibt es Folgen in den rationalen Zahlen, die gegen a konvergieren - aber sicher nicht jede Folge. Du kannst nur tautologisch sagen: Für alle Folgen, die gegen a konvergieren, gilt, dass sie alle gegen a konvergieren.
Du meinst nur Folgen, die den Bildbereich unendlich oft durchwandern (höchstens abzählbar unendlicher Bildbereich)? Das ist aber schon sehr speziell.

Ansonsten macht es ja nichts, wenn jeder Punkt sein eigener Häufungspunkt ist. Kommt ja drauf an, wie man Eigenschaften dazu definiert. Und Häufungspunkte zu sein als Eigenschaft einer Folge ist ja auch recht eindeutig. Ansonsten (bspw. bei Mengen) nimmst du bei isolierten Punkten diese raus. Jetzt kann man sich fragen, ob dies wirklich bei der Definition von Häufungspunkt so gewollt war, oder ob dies nicht eine Folge ist, die eigentlich nicht beabsichtigt war und ob man deswegen nicht lieber die schwächere Definition nimmt?

In den entscheiden Dingen liefern beide Definitionen gleiche Ergebnisse, darauf kommt es an. Ein Hauptunterschied ist halt, ob man bspw. bei der Grenzwertbildung für die Ableitung eine punktierte Umgebung braucht oder nicht.

Worf es ging die ganze Zeit nur um HP von Mengen. Versuch dich nicht rauszureden wie die FDP. Schau mich an: Das mit allen Folgen war nicht sinnvoll.

Ich seh da nicht den Riesen-Unterschied.

€dit: Kannst es aber gern noch etwas ausführen.

Die Frage ging ja nach einer Menge mit abzählbar unendlich vielen Häufungspunkten, und es ist dann völlig falsch isolierte Punkte als solche zu betrachten, auch wenn sie HP konstanter Folgen sind, denn für Mengen in metrischen Räumen gilt doch ein Punkt ist entweder isoliert oder HP. Warum sollte man isolierte also als Häufungspunkte zulassen, zumal es es klar der Definition jede Umgebung enthält unendlich viele Punkte der Menge widerspricht.

Der Punkt ist doch, dass dies nicht bei jeder Definition von Häufungspunkt so ist. Bei der anderen Def sind isolierte Punkte auch Häufungspunkte, aber um Häufungspunkt zu sein müssen nicht unendlich viele Punkte in jeder Umgebung liegen, sondern in jeder Umgebung muss nur ein Punkt aus der Menge enthalten sein.

Diese Defs stehen bspw. im Ana-Buch des Bourbaki-"Schülers" Dieudonné, E ist ein metrischer Raum.

Zitat

A cluster point of a subset A of E is a point x e E such that every neighborhood of x has a nonempty intersection with A. The set of all cluster points of A is called the closure of A and written Â.

Bei Bourbaki steht es allgemeiner über Filter und auf topologischen Räumen definiert. Dieudonné betont aber auch, dass bspw. cluster point eine topologische Eigenschaft ist.

Über den Sinn einer solchen Definition kann man sich natürlich streiten. Ich geb dir insofern recht, als dass bei Mengen gewisse Nachteile entstehen.