MastersForum

Hi böse Masters-Community ,

in einer Aufgabe eines irrelevanten Mathewettbewerbs ging es darum, den Satz von Pick zu beweisen.
Für alle die ihn nicht kennen:
Gegeben sei ein n-Eck dessen Eckpunkte sämtlich Gitterpunkte sind. r sei die Anzahl der Gitterpunkte auf dem Rand des n-Ecks, Eckpunkte dazugezählt und i sei die Anzahl der Gitterpunkte im n-Eck liegend (Rand nicht dazugezählt).
Nun gibt es die Formel
A=1/2*r+i-1 (1)
welche, kaum glaubbar, zutrifft.

Als erstes habe ich versucht zu beweisen, dass dieser Satz für Rechtecke gilt, dessen Seiten parallel zu den Achsen des Koordinatensystems verlaufen. Hier sei y mal die Höhe des Rechtecks und x die Breite.
Klar ist, es gibt doppeltsoviele Gitterpunkte auf dem Rand des n-Ecks, wie die Summe aus der Höhe und der Breite ist. Als Formel:
r=2*(x+y)
r=2x+2y (2)

i lässt sich einfach per Multiplikation von x und y, je dekrimiert um 1, errechnen. Formel:
i=(x-1)(y-1)
i=xy-x-y+1 (3)

Dann einfach (2) und (3) in (1) einsetzen:
A=1/2*(2x+2y)+(xy-x-y+1)-1
A=x+y+xy-x-y+1-y
A=xy

Welch Überraschung, was?


Für rechtwinklige Dreiecke, dessen Katheten beide parallel zu den Achsen des Koordinatensystem sind, habe ich es dann ähnlich gelöst. Im Prinzip habe ich nur r und i halbiert, wobei man bei r beachten muss, dass die Eckpunkte, an welche das Rechteck halbiert wird, damit ein rechtwinkliges Dreieck resultiert, dann dennoch genutzt werden. Ergo muss man, bevor man r halbiert, vorher noch mit 2 addieren:
r=1/2*2(x+y+2)
r=x+y+1 (4)

i=1/2*(xy-x-y+1)
i=0.5xy-0.5x-0.5y+0.5 (5)

(4) und (5) in (1):
A=1/2*(x+y+1)+0.5xy-0.5x-0.5y+0.5-1
A=0.5xy+0.5x-0.5x+0.5y-0.5y+0.5+0.5-1
A=1/2xy

... sollte bekannt vorkommen.


Für mich bisher unlösbar schien ein solcher Beweis allgemein für Dreiecke die auf die Vorgaben dieses Satzes zutreffen.
Jemand eine Idee?

lg - eru

Is die Aufgabe wirklich so schwer?

Immerhin muss ich mir dann nicht mehr in den Arsch beißen eine triviale Lösung nicht gefunden zu haben .

Die sie mittlerweile vorbei ist: das war eine Aufgabe aus der Matheolympiade, nix Hausaufgabe hier .

Meine Frage (steht gaaanz unten ^^) war, wie man das nun für allmögliche Dreiecke beweisen kann, d.h. auch für welche, dessen Seiten nicht parallel zu den Achsen des Koordinatensystems sind.
In einem richtigen Matheforum bekomme ich dann so ein Beweis an den Kopf geschmissen, wie er in Wiki steht, vielleicht sogar zitiert und Wiki ist halt in solchen Sachen so geschrieben, dass es der durchschnittliche 11. Klässler nicht versteht .