Mathematik

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Sunday, October 17th 2004, 9:07pm

Zeigen sie

sin(x) < |x|

Ich hab das schonmal erklärt, kann aber nichts mehr erkennen und komm von selbst nicht mehr drauf, habs mit Additionstheoremen gelöst, wobei mir die Graphische darstellung von f(x)= x und f(x)=sin(x) geholfen haben...

Danke

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MfG_Stefan

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2

Sunday, October 17th 2004, 9:25pm

auf den ersten Blick würd ich sagen sin(x)<= |x|,
da für x=0 Gleichheit gilt und falls l´hospital anwendbar ist, ist es klar weil sin(x) immer <= 1 ist.
Sonst vielleicht über die Darstellung des Sinus als unendliche Reihe.

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plexiq

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3

Sunday, October 17th 2004, 9:28pm

Äh, die Behauptung sin(x)<|x| is relativ trivial zu widerlegen:
sin(x)=0
|x|=0

(0<0) => false

Falls die Angabe eigentlich sin(x)<=|x| heissen sollte:
Interessant is hier offensichtlich nur der Bereich von 0 bis 1, da die Behauptung für x>1 bzw x<0 offensichtlich richtig ist.

Ableitung von sin(x) = cos(x), dh wir haben bei x=0 ne Steigung von 1, und für 0<x<=1 ne Steigung<1.

Die Gerade y=x hat offensichtlich immer Steigung 1

Also, für 0<x<1 gilt:
|x|' > sin(x)'

Dh:
Wir haben für x=0 gleiche Funktionswerte, und da |x| immer schneller steigt als sin(x) wird der Abstand monoton grösser.

Folgerung: die Behauptung sin(x)<=|x| stimmt.

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Smooth

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4

Sunday, October 17th 2004, 9:32pm

Ja, ist kleiner gleich Betrag von x, hab nur irgendwie das "=" vergessen :rolleyes:

Danke plex, studierste Mathe?

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plexiq

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5

Sunday, October 17th 2004, 9:35pm

Eigentlich Informatik, aber da gibts genug Mathe

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Smooth

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6

Sunday, October 17th 2004, 9:40pm

Ich habs wieder

1= cos²(x) + sin²(x)
sin² = 1- cos²(x)

Ableitung
sin'(x)= cos(x) < 1 = |x|' für 0<x<1

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Smooth

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7

Sunday, October 17th 2004, 9:41pm

Nach de L'Horbital

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Hostagetaker

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8

Monday, October 18th 2004, 7:04am

ich glaub man muss sich eher den Grenzwert vor Augen führen ^

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Springa

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Monday, October 18th 2004, 3:59pm

Quoted

Original von MfG_Stefan
auf den ersten Blick würd ich sagen sin(x)<= |x|,
da für x=0 Gleichheit gilt und falls l´hospital anwendbar ist, ist es klar weil sin(x) immer <= 1 ist.
Sonst vielleicht über die Darstellung des Sinus als unendliche Reihe.

Das mit der Reihe klingt interessant..

sin(x) um den Nullpunkt entwickelt ist bekanntlich eine McLaurin-Reihe:

sin(x)= x-x³/3!+x^5/5!+-.... (-1)^(n+1)x^n/n!...

Da aber zu zeigen, dass dieser Wert 1 nie überschreitet bzw -1 nicht unterschreitet, ist glaub ich nicht so leicht..
Vielleicht kann man sie durch eine Majorante abschätzen...
On the fly fällt mir jetz nix anderes ein.. du ein paar Ideen??

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myabba|abra

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10

Monday, October 18th 2004, 4:08pm

löl leute hier gehts um 10. klässler stoff^^

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CF_Terratos

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11

Monday, October 18th 2004, 4:31pm

lol? wo lernt man sowas in Klasse 10?

Bei uns wird das in 12/13 gemacht, auch die Ableitungen lernt man erst in 12, erscheint mir sehr unwahrscheinlich, dass man sowas schon in 10 macht...

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GWC_Rapublik

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12

Monday, October 18th 2004, 4:34pm

ja, bin 12. klasse und ableitungen von sin(x) und produkten usw. lernen wir erst jetzt.

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MfG_Stefan

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13

Monday, October 18th 2004, 4:48pm

@Springa: glaub auch, daß es so nicht so leicht ist.
aber für x>0 sollte: -x³/3!+x^5/5!+-.... (-1)^(2n+1)x^(2n)/(2n!)... schon negativ sein.
Denn x^(2n)/(2n!) ist monoton fallend (für x nahe 0) (Quotientenkriterium).

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Hostagetaker

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14

Monday, October 18th 2004, 5:01pm

@rapublik: kann nicht sein, hast letztes Jahr nicht aufgepasst

und das mit dem Beweis hat doch garnix mit Ableitung zu tun ihr n00pel

wie gesagt es ist 10klass-stoff^^ da kann man nicht mal ableiten o.O

kann man nicht einfach sagen dass der sinus maximal einen wert von 1, bzw, minimal -1 annimmt.
=> für x > 1 bzw. x < 0 ist x schonmal sicher größer als der sin von x

x < 0 wegen Betragstrichen

Ich stell mal einfach, mir nichts dir nichts :>, die Behauptung in den Raum dass es was mit dem Einheitskreis zu tun hat

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MfG_Stefan

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15

Monday, October 18th 2004, 5:08pm

also die schönste und einfachste Erklärung steht schon in plexiqs erstem Beitrag.

Edit: oh, hab überlesen, daß du es ohne Ableitung machen willst.

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CF_Terratos

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16

Monday, October 18th 2004, 5:13pm

Quoted

Original von GWC_Rapublik
ja, bin 12. klasse und ableitungen von sin(x) und produkten usw. lernen wir erst jetzt.

jo, aber du bist aus Stuttgart, ich bin aus Ludwigsburg, da is es klar, dass wir des gleiche machen, weiß ja nich auf was für ner GoSu-Schule Abraxas is ^^

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myabba|herby

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17

Monday, October 18th 2004, 5:14pm

Er ist halt Bayer.

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Hostagetaker

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18

Monday, October 18th 2004, 5:15pm

ich hab Ableitungsregeln mit produkt und co alles mitte der 11ten gemacht

wie abraxas^^

€dit: herby du hast den Nagel auf den Kopf getroffen

me2 Bayer

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myabba|abra

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19

Monday, October 18th 2004, 5:58pm

jo, wohne in bayern

10.klasse: trigonometrische funkionen
11.klasse: ableitung dieser
12.klasse: integrale

und die frage hört sich verdammt nach ner 10. klasse aufgabe an^^

edit: möglich das da was mit ableitungen mit reinpfuscht, hab mir die aufgabe ned angeschaut

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-=)GWC(RaMsEs

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Monday, October 18th 2004, 8:30pm

sollte nicht der lehrstoff in den bedien ländern besonders in mathe angenähert werden?
weiss noch genau als ich mathe abi geschrieben habe ( 99) hatten die bawü leute ein an unseres angelehntes ( vom schwierigkeitsgrad her).
das viel auch katastrophal aus bei den bawü kameraden ( ist ja auch klar, in bayern wird dir kontinuierlich dieses niveau langsam nähergebracht, in bawü kam das ruck zuck damals).
aber das es immer noch so unterschiede gibt hätt ich net gedacht

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