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nC_eru

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1

27.02.2010, 20:58

Mathematik - Satz von Pick beweisen

Hi böse Masters-Community :evil:,

in einer Aufgabe eines irrelevanten Mathewettbewerbs ging es darum, den Satz von Pick zu beweisen.
Für alle die ihn nicht kennen:
Gegeben sei ein n-Eck dessen Eckpunkte sämtlich Gitterpunkte sind. r sei die Anzahl der Gitterpunkte auf dem Rand des n-Ecks, Eckpunkte dazugezählt und i sei die Anzahl der Gitterpunkte im n-Eck liegend (Rand nicht dazugezählt).
Nun gibt es die Formel
A=1/2*r+i-1 (1)
welche, kaum glaubbar, zutrifft.

Als erstes habe ich versucht zu beweisen, dass dieser Satz für Rechtecke gilt, dessen Seiten parallel zu den Achsen des Koordinatensystems verlaufen. Hier sei y mal die Höhe des Rechtecks und x die Breite.
Klar ist, es gibt doppeltsoviele Gitterpunkte auf dem Rand des n-Ecks, wie die Summe aus der Höhe und der Breite ist. Als Formel:
r=2*(x+y)
r=2x+2y (2)

i lässt sich einfach per Multiplikation von x und y, je dekrimiert um 1, errechnen. Formel:
i=(x-1)(y-1)
i=xy-x-y+1 (3)

Dann einfach (2) und (3) in (1) einsetzen:
A=1/2*(2x+2y)+(xy-x-y+1)-1
A=x+y+xy-x-y+1-y
A=xy

Welch Überraschung, was?


Für rechtwinklige Dreiecke, dessen Katheten beide parallel zu den Achsen des Koordinatensystem sind, habe ich es dann ähnlich gelöst. Im Prinzip habe ich nur r und i halbiert, wobei man bei r beachten muss, dass die Eckpunkte, an welche das Rechteck halbiert wird, damit ein rechtwinkliges Dreieck resultiert, dann dennoch genutzt werden. Ergo muss man, bevor man r halbiert, vorher noch mit 2 addieren:
r=1/2*2(x+y+2)
r=x+y+1 (4)

i=1/2*(xy-x-y+1)
i=0.5xy-0.5x-0.5y+0.5 (5)

(4) und (5) in (1):
A=1/2*(x+y+1)+0.5xy-0.5x-0.5y+0.5-1
A=0.5xy+0.5x-0.5x+0.5y-0.5y+0.5+0.5-1
A=1/2xy

... sollte bekannt vorkommen.


Für mich bisher unlösbar schien ein solcher Beweis allgemein für Dreiecke die auf die Vorgaben dieses Satzes zutreffen.
Jemand eine Idee?

lg - eru

nC_eru

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2

28.02.2010, 18:19

Is die Aufgabe wirklich so schwer? :(

Immerhin muss ich mir dann nicht mehr in den Arsch beißen eine triviale Lösung nicht gefunden zu haben :D .

Tocha

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3

28.02.2010, 18:23

mach deine Hausaufgaben selbst xD

nC_eru

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4

28.02.2010, 18:24

Die sie mittlerweile vorbei ist: das war eine Aufgabe aus der Matheolympiade, nix Hausaufgabe hier :P .

Tocha

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5

28.02.2010, 18:26

EDIT: ka, was hier schief gelaufen ist, war wohl die backspace taste :P

Dieser Beitrag wurde bereits 1 mal editiert, zuletzt von »Tocha« (28.02.2010, 18:27)


Tocha

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6

28.02.2010, 18:27

Zitat

Original von nC_eru
Die sie mittlerweile vorbei ist: das war eine Aufgabe aus der Matheolympiade, nix Hausaufgabe hier :P .


hae? ^^


Ach und ja Matheolympiade, wie er seine Hausarbeiten tarnt, damit wir die für ihn machen :P

7

28.02.2010, 18:29

ich würde damit lieber in ein "echtes" matheforum gehen, hier gibt wahrscheinlich keine 5 leute die das wirklich lösen können bzw überhaupt verstehen (was mein vorposter eindrucksvoll bewiesen hat)

8

28.02.2010, 18:32

Irgendwie geht nicht klar hervor, wass jetzt eigentlich die Frage ist.
Nicht mal die Aufgabenstellung steht klar da, wenn man es nicht bei Wikipedia nachschaut.

nC_eru

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9

28.02.2010, 18:37

Meine Frage (steht gaaanz unten ^^) war, wie man das nun für allmögliche Dreiecke beweisen kann, d.h. auch für welche, dessen Seiten nicht parallel zu den Achsen des Koordinatensystems sind.
In einem richtigen Matheforum bekomme ich dann so ein Beweis an den Kopf geschmissen, wie er in Wiki steht, vielleicht sogar zitiert und Wiki ist halt in solchen Sachen so geschrieben, dass es der durchschnittliche 11. Klässler nicht versteht ;( .

Tocha

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10

28.02.2010, 18:37

Zitat

Original von SenF_Toddi
ich würde damit lieber in ein "echtes" matheforum gehen, hier gibt wahrscheinlich keine 5 leute die das wirklich lösen können bzw überhaupt verstehen (was mein vorposter eindrucksvoll bewiesen hat)


liegt auch vll. daran, dass allein Erus Post zu lesen, mir einfach zu hohe Opportunitätskosten bescheren würde ^^

11

28.02.2010, 19:02

Zitat

Original von Tocha

Zitat

Original von SenF_Toddi
ich würde damit lieber in ein "echtes" matheforum gehen, hier gibt wahrscheinlich keine 5 leute die das wirklich lösen können bzw überhaupt verstehen (was mein vorposter eindrucksvoll bewiesen hat)


liegt auch vll. daran, dass allein Erus Post zu lesen, mir einfach zu hohe Opportunitätskosten bescheren würde ^^


this ^^ immerhin landet "dekrimiert" als #1 von 3 Treffern bei google :respekt:

12

28.02.2010, 19:04

jo einfach irgendwas posten ohne zu lesen ist immer ne gute idee...

13

28.02.2010, 19:06

Zitat

Original von SenF_Toddi
ich würde damit lieber in ein "echtes" matheforum gehen, hier gibt wahrscheinlich keine 5 leute die das wirklich lösen können bzw überhaupt verstehen (was mein vorposter eindrucksvoll bewiesen hat)


meinst du hier gibts 5 leute die den post überhaupt durchlesen? 11

14

28.02.2010, 21:00

ich fand (neben dem Neologismus) halt nur die emotionalen Kommentare von eru witzig, die haben irgendwie vermissen lassen dass er wirklich Hilfe braucht, noch dazu wo die Hilfe doch zB bei Wikipedia zu finden ist

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15

04.03.2010, 11:29

Zitat

Original von nC_$kittle_

meinst du hier gibts 5 leute die den post überhaupt durchlesen? 11


Also, ich habs schon gelesen...nur die Zahlen hab ich ausgelassen! :D :D :D

16

04.03.2010, 16:46

RE: Mathematik - Satz von Pick beweisen

Zitat

Original von nC_eru

Für mich bisher unlösbar schien ein solcher Beweis allgemein für Dreiecke die auf die Vorgaben dieses Satzes zutreffen.

der satz soll die fragestellung sein?? Er ist jedenfalls sehr unverständlich und es fehlen auf jeden Fall Kommas, die für das Verständnis hilfreich wären.

Der Beitrag »Re: Local carpenter making built-ins« von »dongdong8« (08.11.2017, 06:55) wurde aus folgendem Grund vom Benutzer »SIM_Hexe_S« gelöscht: Spam (08.11.2017, 14:55).

18

08.11.2017, 14:24

Damit waere der Satz wohl bewiesen. Gott sei Dank!
"ja ich hab auch nen großen penis, aber das beantwortet nicht meine frage" - Blawas

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