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Mathefragen

]I[Michi

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1

Thursday, June 17th 2010, 8:59pm

Mathefragen

Wiedermal Mathe, um wie so oft Schreibfehler zu vermeiden habe ich das Übungsblatt hochgeladen:

http://www.bilder-space.de/show_img.php?…g&size=original

Fragen Nummer
3
4
und
7

sind mir nicht ganz klar, könnte mir jemand weiterhelfen?

This post has been edited 1 times, last edit by "]I[Michi" (Jun 17th 2010, 9:00pm)

AtroX_Worf

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2

Thursday, June 17th 2010, 9:23pm

Zeichne 3 doch mal auf ein Blatt Papier und überleg dir, was eine Ableitung graphisch wäre.

zu 4) Polynomdivision, du bekommst dabei ein Polynom und einen Rest als echte rationale Funktion raus.

7) Was passiert mit a^n, wenn |a| < 1 ist? Wie kann man (5x-3)^n (binomische Formlen) anders schreiben?

GEC|Napo

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3

Thursday, June 17th 2010, 9:24pm

3. Satz von Rolle
4. ausrechnen
7. geometrische Reihe

]I[Michi

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4

Thursday, June 17th 2010, 11:24pm

Danke!

Also

3. Nein, weil mindestens eine Stelle 0 ist.
4. Sum of polynomial x^3 + 3x^2 + 7x + 18
proper rational function: 41x-37


Bei der 7 komm ich leider immer noch nicht weiter, wenn ich (5x-3)^n umschreibe dann habe ich: (5x+3) * 5x^(n-1) Summe: (-3/5x)^k oder?

La_Nague

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5

Friday, June 18th 2010, 12:03am

5x-3 muss kleiner als 1 sein für konvergenz.



edit

den Betrag davon meine ich

This post has been edited 1 times, last edit by "La_Nague" (Jun 18th 2010, 12:05am)

AtroX_Worf

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6

Friday, June 18th 2010, 12:12am

Quoted

Original von ]I[Michi
3. Nein, weil mindestens eine Stelle 0 ist.

Wenn die Funktion stetig sein soll und f(a) = f(b), dann kann sie entweder konstant sein, oder aber sie muss irgendwie einen Bogen machen und damit einlokales Minimum/Maximum haben. Das gibt dir f'(x) = 0 für ein x aus (a,b).

Quoted


4. Sum of polynomial x^3 + 3x^2 + 7x + 18
proper rational function: 41x-37

(x³ +7x+3x²+18) + (41x-37)/(x²-3x+2) hat mein CAS raus, also ja, wobei du die echt gebrochene Funktion natürlich als Zähler/Nenner schreiben musst, nicht nur en Zähler angeben.

Quoted


Bei der 7 komm ich leider immer noch nicht weiter, wenn ich (5x-3)^n umschreibe dann habe ich: (5x+3) * 5x^(n-1) Summe: (-3/5x)^k oder?

Ok vergiss das Umschreiben erstmal. Was passiert denn mit a^n für irgend ein n, wenn a bestimmte Werte annimmt? Untersuche da speziell a < -1, |a| < 1 und a > 1. Dann überlege dir, was dies für n -> unendlich bedeuten würde.
Dann hast du dir das für alle Summanden einzelnen überlegt, was bedeutet es für die Summe?

Aus letztes schaust du unter dem von Napo genannten Stichwort noch bei Wikipedia nach.

]I[Michi

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7

Friday, June 18th 2010, 12:29am

Danke, werde mir die Reihen nochmal anschauen, aber inzwischen hänge ich jetzt auch bei der 6ten fest. Dachte eigentlich die sei einfach aber:

(2^x)-(3x^2)=0
ich habe zuerst so umgeschrieben:
e^(xlog2) = e^(3logx)
=> xlog2 = 2log3x
=> log2/2 = log3x/x
=> ?

ist es überhaupt möglich hier eine Lösung zu finden? Hab auch mit dem Taschenrechner rumgespielt und verschiedene Lösungen ausprobiert um einen Anhaltspunkt zu erhalten, aber hab keine passende gefunden.

AtroX_Worf

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8

Friday, June 18th 2010, 1:44am

Was soll denn eine Lösung sein, eine numerische oder eine "geschlossene Formel"?

nC_Flex

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9

Friday, June 18th 2010, 9:04am

Rechnerisch ist das Problem echt schwierig zu lösen, aber der TR bringt doch gute Ergebnisse:
nC_Flex has attached the following file:
  • Ergebnisse.jpg (28.39 kB - 439 times downloaded - latest: Nov 26th 2023, 11:59am)

Chevron

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10

Friday, June 18th 2010, 9:25am

Bestimme doch mal f(1) und f(10) und schau dir die Vorzeichen an.

Nun ist f stetig. Was folgt daraus?

Quoted

Original von AtroX_Worf
Was soll denn eine Lösung sein, eine numerische oder eine "geschlossene Formel"?

Weder noch. Eine Lösung ist eine (reelle) Zahl, die die Gleichung erfüllt.

This post has been edited 1 times, last edit by "Chevron" (Jun 18th 2010, 9:28am)

]I[Michi

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11

Friday, June 18th 2010, 9:52am

Laut Aufgabenstellung muss ich nur herausfinden und erklären ob es eine Lösung für diese Gleichung gibt.

Mein TI hat die selben Ergebnisse, aber ich bräuchte die Ergebnisse Schritt für Schritt oder einen anderen Beweis, warum es eine Lösung gibt.

nC_Flex

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12

Friday, June 18th 2010, 10:45am

Naja Zahl in die Gleichung einsetzen. Prüfen, ob sie erfüllt wird. Fertig. Beweis erbracht, dass die Gleichung lösbar ist.

€: Es wird gefragt "Is there a solution..." Antwort: Ja es gibt folgende Lösungen:...

Es wird keine rechnerische Herleitung der Lösungen verlangt. Du sollst nur erklären ob es eine Lösung gibt.

This post has been edited 1 times, last edit by "nC_Flex" (Jun 18th 2010, 10:47am)

]I[Michi

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13

Friday, June 18th 2010, 10:48am

Leider, darf ich die Zahlen aber nicht als gegeben betrachten ich muss sie selbst händisch ausrechnen, sonst zählts bei der Klausur nicht...

nC_Flex

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14

Friday, June 18th 2010, 11:11am

Manche Gleichungen lassen sich nur bis zu einem bestimmten Punkt händisch ausrechnen und dann musst du halt probieren oder den GTR benutzen.

AtroX_Worf

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15

Friday, June 18th 2010, 11:19am

Wenn die Frage nur ist, ob eine Lösung existiert, so musst du nur zeigen, dass die Funktion f(x) = 2^x - 3x^2 mind. eine Nullstelle hat. Diese Funktion ist offensichtlich stetig. Wenn du jetzt zwei Stellen x_1 und x_2 finden kannst, an denen f(x_1) < 0 und f(x_2) > 0 gilt, so muss es wegen der Stetigkeit ein x_0 aus (x_1, x_2) geben, für welches f(x_0) = 0 gilt.

Das meinte wohl auch Chevron.
Die Frage, wie man auf dieses x_0 kommt ist aber eine andere.
Mit dem Newton-Verfahren geht es sehr schnell, nach 3-5 Schritten hast du eine hinreichend gute Näherung für eine Nullstelle gefunden. Mit einem GTR sollte dies weniger als 2 min dauern (mit Eingebezeit).

]I[Michi

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16

Friday, June 18th 2010, 4:21pm

Danke, gibt es dafür keine einfache Methode? Da in der Prüfung teilweise auch Leute mit ganz normalen Taschenrechnern sitzen und ich denke, die Aufgabe ist auch für diese lösbar?

Den Rest habe ich jetzt verstanden!

Eine Frage noch zu den limits:
lim(((1-x)^a-1)/x),x->0) wobei a eine Konstante ungleich 0 ist.

Ich müsste diese Funktion irgendwie dazu bekommen 0/0 zu werden um dann mit Hilfe von L'Hospital das Limit zu berechnen, nur leider weis ich nicht wie.

Ich bin nach einigem umstellen beim Punkt:
(a*log(1-x) - log1)/x

x kann ich also noch nicht 0 setzen,

Das Ergebnis müsste laut meinem TI -a sein.

Tut mir leid, wenn ich euch hier mit meinen Fragen vollspamme, aber ich hab das ganze Semester gearbeitet und war deshalb nie in der Vorlesung :-).

nC_Flex

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17

Friday, June 18th 2010, 5:10pm

hmm nunja:
...
=(1-x)^a/x-1/x
=a*log(1-x)-logx+logx
=a*log(1-x)
lim (x->0) [a*log(1-x))=-a (da man sich ja linksseitig der null annähert)

]I[Michi

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18

Friday, June 18th 2010, 6:45pm

leider kann ich dir nicht ganz folgen.
lim((((1-x)^a)-1)/x))

so ist die Klammersetzung richtig.

also wie gesagt zuerst habe ich es umgewandelt in:
(a*log(1-x) - log1)/logx

wie kommst du auf die Form:
alog(1-x)-logx+logx?

Chevron

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19

Friday, June 18th 2010, 7:00pm

Quoted

Original von ]I[Michi
Danke, gibt es dafür keine einfache Methode? Da in der Prüfung teilweise auch Leute mit ganz normalen Taschenrechnern sitzen und ich denke, die Aufgabe ist auch für diese lösbar?

Da bei der Aufgabe nur zu zeigen (d.h. beweisen) ist, dass eine Lösung existiert, braucht man gar keinen Taschenrechner, sondern nur das Wissen, was Stetigkeit denn nun bedeutet :)

Eine stetige Funktion (wie hier 2^x - 3x^2), die sowohl einen positive als auch einen negativen Wert annimmt, muss eine Nullstelle besitzen, da sie ja nicht "springen" kann.


Quoted

Original von ]I[Michi
Eine Frage noch zu den limits:
lim(((1-x)^a-1)/x),x->0) wobei a eine Konstante ungleich 0 ist.

Ich müsste diese Funktion irgendwie dazu bekommen 0/0 zu werden um dann mit Hilfe von L'Hospital das Limit zu berechnen, nur leider weis ich nicht wie.

Setz doch mal x=0 in Zähler und Nenner ein, und du wirst feststellen, dass da schon "0/0" steht und du direkt Mr. L'Hospital drauf loslassen kannst :)

]I[Michi

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20

Friday, June 18th 2010, 8:29pm

Hatte eine der grundlegenden Logarythmusregeln nichtmehr im Kopf ;) - jetzt ist mir alles klar, danke!

Aber ich hänge wieder bei einer Aufgabe:
http://www.bilder-space.de/show_img.php?…g&size=original

Kann ich diese Funktion einfach integrieren und dann addieren?

Also Integral(0,1)x^2
und Int(1,2)2x^5-1

also 1/3 + 20 ist die area under the curve?

AtroX_Worf

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21

Friday, June 18th 2010, 9:17pm

Ja, stückweise ausrechnen.
Ist richtig.

]I[Michi

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22

Sunday, June 20th 2010, 3:11pm

Noch 1 Tag bis zur Prüfung und noch ein paar Unklarheiten:

http://www.bilder-space.de/show_img.php?…g&size=original

Den Hessian kann ich ausrechnen, aber die anderen beiden bereiten mir Schwierigkeiten.

Zur 1:
Mir ist klar, dass decreasing returns of scale dann vorliegen, wenn a+ß<1 sind. Ich habe es mir so gedacht, dass ich x-achse =a und y-achse=ß zeichne, dann eine 90grad Linie einzeichne und alle Punkte unter dieser Linie sind decreasing returns to scale, kommt mir aber zu einfach vor, aber müsste stimmen oder?

Zur 3:
Hier bin ich aufgeschmissen, kann ich das Integral int(0,x)tR(t)dt nach x2/2 integrieren? Dann wird die Aufgabe klar, ansonsten leider nicht... und ich denke meine Integration ist falsch, bzw. ich habe einen notwendigen Schritt übersprungen?

Chevron

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23

Monday, June 21st 2010, 7:24pm

Quoted

Original von ]I[Michi
Die Hessematrix kann ich ausrechnen
Fixed ;)

Quoted

Original von ]I[Michi
Zur 1:
Mir ist klar, dass decreasing returns of scale dann vorliegen, wenn a+ß<1 sind. Ich habe es mir so gedacht, dass ich x-achse =a und y-achse=ß zeichne, dann eine 90grad Linie einzeichne und alle Punkte unter dieser Linie sind decreasing returns to scale, kommt mir aber zu einfach vor, aber müsste stimmen oder?

Das mit den 90° haut nicht so hin, aber es ist nur eine Gerade, die du einzeichnen musst.

Such dir zwei Punkte, für die
alpha + beta = 1
gilt, und verbinde sie zu einer Geraden. Den Bereich auf einer (welcher?) Seite der Geraden schraffierst du dann.

Quoted

Original von ]I[Michi
Zur 3:
Hier bin ich aufgeschmissen, kann ich das Integral int(0,x)tR(t)dt nach x2/2 integrieren? Dann wird die Aufgabe klar, ansonsten leider nicht... und ich denke meine Integration ist falsch, bzw. ich habe einen notwendigen Schritt übersprungen?

Das ist wieder ein Fall für L'Hospital, da sowohl Zähler als auch Nenner für x=0 verschwinden.

Das Integral selbst brauchst du gar nicht zu bestimmen, sondern nur dessen Ableitung, und die ist gleich der inneren Funktion (mit t=x eingesetzt).


Edit: Naja, wahrscheinlich ist die Prüfung eh schon vorbei ^^

This post has been edited 1 times, last edit by "Chevron" (Jun 21st 2010, 7:25pm)