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Dieser Beitrag wurde bereits 3 mal editiert, zuletzt von »FodA_Landwirt« (31.05.2010, 13:03)
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Original von Zecher_Falcon__
pitt hat im prinzip alles gesagt, es ist einfach nur aufschreibefehler.
Desweiteren ist dann 1/3 oder 1/2 als Lösung korrekt, es kommt halt auf die Begründung an. (Selbst du Worf hast in dem Thread schon nen ähnlichen Link dazu gepostet, http://en.wikipedia.org/wiki/Bertrand's_…x_(probability))
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Original von mymF.frantic
wurde dieses paradoxon schon gepostet?
http://www.overclockers.at/attachment.ph…chmentid=146153
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Original von kOa_Borgg
ich verstehe immernochnicht, warum zwischen zwei unabhängigen ereignissen eine relation bestehen soll worf.
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Original von AtroX_Worf
Ich schreibe es mal mathematisch abstrakt hin, da ich denke, dass es dadurch an Klarheit gewinnt.
Sei S:={m,w} die Ausprägung Geschlecht und W:={1,...,n} die möglichen Ausprägungen einer anderen Eigenschaft, bspw. Wochentag mit n=7.
Definiere den Raum der Geschlechterwochentage G=SxW, d.h. als Kartesisches Produkt der beiden gerade definierten Mengen. Ein Element g aus G sieht folgendermaßen aus: g=(x,y) mit x aus S und y aus W. Mögliche Elemente von G sind also die Paare (m,1), (m,5), (w,2) oder (w,7).
Es gibt insgesamt |G| = |S|*|W| = 2*n mögliche Kombinationen.
Definiere den Raum der Kindespaare mit K Teilmenge aus GxG genau so, dass (g1, g2) = (g2, g1) für g1, g2 jeweils aus G ist, d.h. ((m,1), (w,7)) = ((w,7), (m,1)).
Wie viele Elemente hat der Raum der Kindespaare K? Es sind genau (|G|+|S|-1 über |S|) = (2*n-1 über 2) Elemente, da man aus |G| Elementen jeweils 2 mit zurücklegen, aber ohne Beachtung der Reihenfolge, auswählt.
Betrachte das Wahrscheinlichkeitsmaß P, welches auf dem Raum der Kindespaare wie folgt definiert ist:
P(K=k) = 1/(|G|+|S|-1 über |S|) = 1/(2n-1 über 2)
Setze abkürzend p:=(2n-1 über 2).
Definiere jetzt die folgenden beiden Ereignisse als Teilmengen (der Potenzmenge von) K:
A := {(g1, g2) | mind. eines der Tupel g1 oder g2 ist (m,1)}
Dies ist die Menge aller Ereignisse, so dass mind. eines der Kinder des Kinderpaares männlich ist und an dem ausgezeichneten Tag Geburstag hat (man kann die Reihenfolge der Elemente in W verändern bzw. 1 durch eine andere Zahl ersetzen).
B := {(g1, g2) | g1 und g2 sind aus {m}xW}
Dies ist die Menge aller Ereignisse, so dass beide Kinder männlich sind.
Gesucht ist
P[B|A] = P[B geschnitten A]/P[A] = (|A geschnitten B|/p)/(|A|/p) = |A geschnitten B|/|A|
Jetzt gilt es nur noch, die Anzahl der Elemente in A bzw. "A geschnitten B" zu bestimmen, da diese die Einzelwahrscheinlichkeiten und damit auch die Gesamtwahrscheinlichkeit festlegt.
Für Elemente in A gibt es 2 Möglichkeiten:
((m,1)), y) aus (m,1)x(SxW)
und
(x, (m,1)) aus (SxW)x(m,1)
Die erste Möglichkeit hat 1*|SxW| Elemente, die zweite Möglichkeit nur noch 1*|SxW|-1 Elemente, weil das Element ((m,1), (m,1)) schon bei Möglichkeit 1 mitgezählt wurde.
Insgesamt gilt |A| = 2*|SxW|-1 = 4n-1.
Für Elemente in "A geschnitten B" gibt es auch wiederum 2 Möglichkeiten:
((m,1)), y) aus (m,1)x({m}xW)
und
(x, (m,1)) aus ({m}xW)x(m,1)
Analog zu gerade hat Möglichkeit 1 genau |W| Elemente und Möglichkeit 2 ein Element weniger, da ((m,1), (m,1)) schon gezählt wurde.
Insgesamt gilt |A geschnitten B| = 2*|W|-1 = 2n-1
Für die bedingte Wahrscheinlichkeit, dass beide Kinder männlich sind (Ereignis B), bedingt darauf, dass mind. eines der Kinder männlich und mit Eigenschaft 1 ist (Ereignis A), gilt dann
P[B|A] = P[B geschnitten A]/P[A] = (|A geschnitten B|/p)/(|A|/p) = |A geschnitten B|/|A| = (2n-1)/(4n-1)
Angenommen W:={Di,Mo,Mi,Do,Fr,Sa,So} und n=7, dann erhalten wir mit gerade hergeleiteter Formel:
P[B|A] = (2*7-1)/(4*7-1) = 13/27
Würden wir nicht auf den Wochentag, sondern auf den Monatstag konditionieren, d.h. hätten wir W:={1,...,30}, dann würde gelten:
P[B|A] = (2*30-1)/(4*30-1) = 59/119 > 13/27
Zitat
Original von toblu
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Original von mymF.frantic
wurde dieses paradoxon schon gepostet?
http://www.overclockers.at/attachment.ph…chmentid=146153
n1one
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Original von OLV_sid_meier
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Original von AtroX_Worf
Ich poste nochmal eine ausführlichere Lösung, da es einige noch nicht (komplett) verstanden zu haben scheinen.
Ich schreibe es mal mathematisch abstrakt hin, da ich denke, dass es dadurch an Klarheit gewinnt.
ohne scheiss, meinst du das ernst ?
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Original von mymF.frantic
wäre für mich verständlicher wenn du es nochmal fix teXen und dann als pdf/bild posten könntest.
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Original von kOa_Borgg
ich verstehe immernochnicht, warum zwischen zwei unabhängigen ereignissen eine relation bestehen soll worf.
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Original von Snaile
Alter was. Ich verstehe das nicht einmal mit Lösung. Dabei hatte ich Mathe und Stochastik im Abitur.
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Original von Snaile
Mein Traum wäre es ja Mathematik zu studieren. Ohne Spaß jetzt. Das fände ich klasse. Man kann damit so viel machen und erklären. Leider bin ich dafür wohl zu dämlich.
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Original von Snaile
Also rätst Du mir zu einem Mathematikstudium, auch wenn ich das im Abitur nur auf Biegen und Brechen begriffen habe, die Mathematik als solche aber sehr interessant finde? Ich bin ohnehin kein reiner Anwender, ich verstehe gerne, was ich lerne.