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Tricky Mathe-Aufgabe

kOa_Master

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61

17.06.2009, 15:48

Ausschreiben plz para, ich komm net aufs gleiche^^

@Reagan: es gibt hier mehrere arten zu argumentieren und begründen, nicht nur eine richtige.
Paras ansatz geht vom weg/der geschwindigkeit direkt aus, pleq/ meiner von den relativpositionen, borgg hat einen numerischen "beweis"...

nC_Raegan

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62

17.06.2009, 17:06

@Master
Aber doch nur eine richtige Antwort, mehrere Antwortmöglichkeiten gibts doch hoffentlich nur bei unklaren Aufgabenstellungen.
Es kann doch nicht einmal nie, einmal immer und einmal ab Grenzv. herauskommen.

kOa_Master

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63

17.06.2009, 20:51

blödsinn?

es gibt nur eine richtige antwort PRO AUFGABENSTELLUNG. deine aufgabenstellung war unklar, deshalb siehe pitt82's posting.

zwei dieser aufgabenstellungen sind absolut trivial und die lösung deshalb "nie", die dritte aufgabenstellung ist wohl deine ursprünglich gemeinte und dort ist die lösung eindeutig "immer". das wurde jetzt genug oft bewiesen/aufgezeigt.

aber um die richtigkeit dieser lösung aufzuzeigen gibt es x möglichkeiten!
klar basieren sie auf den gleichen tatsachen, aber der weg ist verschieden.

wenn du den satz des pythagoras beweisen willst, gibt es hunderte von möglichkeiten dies zu tun...

Dieser Beitrag wurde bereits 1 mal editiert, zuletzt von »kOa_Master« (17.06.2009, 20:53)

]I[Michi

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64

20.08.2009, 06:33

Ich verwende mal diesen alten Thread für zwei kleine Mathefragen:

1)
lim(x->a)=[(x^5)-(a^5)]/(x-a)

Kann ich hier ganz einfach den Zähler auf (x-a)*(1^5) erweitern, dann mit dem Nenner kürzen und der Grenzwert beträgt 1^5 also 1? Glaube kaum, dass ich hier mit meiner Vermutung richtig liege und bin auf die richtige Lösung gespannt.

2)
Gibt es eine Lösung für die Gleichung: [(2^x)-(x^2)] = 0

Dort ist mein Lösungsweg folgendermaßen: (lnx/lnx)=(ln2/ln2). Damit hat diese Gleichung aber keine definierte Lösung... Wie oben aber Unsicherheit^2

kOa_Master

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65

20.08.2009, 08:10

1. gleichung -> regel von bernoulli anwenden (grenzwert des quotienten = grenzwert des quotients der ableitungen)

2. gleichung: durch umformen kommst du doch auf x/lnx = 2/ln2?
und zwei lösungen dieser gleichung "sehe" ich direkt, nämlich 2 und 4. die dritte lösung (eine negative) sehe ich jetzt gerade nicht, bzw. keine ahnung wie man analytische auf die kommt

pitt82

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66

20.08.2009, 11:33

Ohne mir jetzt groß die ursprüngliche Gleichung anzuschaun .. der logarithmus einer negativen Zahl ist doch garnicht definiert - wie soll es da ne negative Lösung geben?

Erg_Raider

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67

20.08.2009, 11:34

Zitat

Original von ]I[Michi
Ich verwende mal diesen alten Thread für zwei kleine Mathefragen:

1)
lim(x->a)=[(x^5)-(a^5)]/(x-a)

Kann ich hier ganz einfach den Zähler auf (x-a)*(1^5) erweitern, dann mit dem Nenner kürzen und der Grenzwert beträgt 1^5 also 1? Glaube kaum, dass ich hier mit meiner Vermutung richtig liege und bin auf die richtige Lösung gespannt.

das widerspricht jeder rechenregel. du kannst aus dem zähler (x-a) ausklammer und bekommst dann ein polynom 4. grades. einfacher gehts mit masters version, außer dass er glaube ich l'hospital meint.


Zitat

Original von kOa_Master
2. gleichung: durch umformen kommst du doch auf x/lnx = 2/ln2?
und zwei lösungen dieser gleichung "sehe" ich direkt, nämlich 2 und 4. die dritte lösung (eine negative) sehe ich jetzt gerade nicht, bzw. keine ahnung wie man analytische auf die kommt

gleichungen dieser art haben keine analytische lösung.

]I[Michi

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68

20.08.2009, 14:17

also fürs 1 wäre dann das richtige Ergebnis:

-(4x^3)?

Weil ich vorher den Zähler erweitere auf [(a-x)(a-x)^4], dann das erste (a-x) wegkürze. Dann leite ich das (a-x)^4 nach x ab.

__

Fürs 2te, diese Lösungen von 2 und 4 sprangen mir auch gleich ins auge, aber dann wäre die Gleichung 0=0, wie komme ich auf die dritte Lösung?

Imp_eleven

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69

20.08.2009, 14:40

also wenn du nach dem limes noch ein x drin hast, ist was schief gelaufen;)

wenn du die aufgabe richtig hingeschrieben hast. kannst da nicht einfach kürzen^^

leite oben und unten ab und setz a ein. dann kommst auf 5*a^4

Dieser Beitrag wurde bereits 1 mal editiert, zuletzt von »Imp_eleven« (20.08.2009, 14:47)

kOa_Master

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70

20.08.2009, 14:47

Jaja bernoulli-l'hospital @erg ;)

und in dem fall gibts keine dritte reelle lösung, höchstens eine iterative annäherung
@pitt: beim umformen wird (-x)^2 zu x^2, dann passts wieder mit -2/ln(2)=ln(x)/x lnx<0

kOa_Master

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71

20.08.2009, 14:52

Ableitung zähler gibt 5x^4, ableitung nenner gibt 1.

Lim (x->a) 5x^4 = 5a^4.

AtroX_Worf

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72

20.08.2009, 14:58

Zitat

Original von kOa_Master
und in dem fall gibts keine dritte reelle lösung, höchstens eine iterative annäherung

Die 3. Lösung ist komplex. Aber was meinst du mit "es gibt keine (3.) reelle Lösung, höchstens eine iterative Annäherung"?
Lambertsche W-Funktion

kOa_Master

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73

20.08.2009, 16:02

ja es gibt logischerweise auch eine negative zahl, die du bei 2^x = x^2 einsetzen kannst um die gleichung zumindest annähernd zu erfüllen...

(im bereich 0.7 etwa)

Dieser Beitrag wurde bereits 1 mal editiert, zuletzt von »kOa_Master« (20.08.2009, 16:02)

Imp_eleven

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74

20.08.2009, 17:31

jo master hat schon recht.
x=-0.766664696 erfüllt auch^^

(numerische lösung natürlich)

T1000

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75

20.08.2009, 18:05

Dieser Beitrag wurde bereits 1 mal editiert, zuletzt von »T1000« (20.08.2009, 18:05)

Invader

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76

21.08.2009, 00:12

ich hätte von anfang an nie gesagt weil das band ja am hasen befestigt ist und er somit immer hinterm hasen sein wird solang er aufm band läuft..

]I[Michi

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77

27.08.2009, 20:42

Da in diesem Forum immer schnelle Hilfe naht komme ich wieder mit einigen Problemchen zu euch. Bin gerade am Mathe lernen und komm nicht so recht weiter.

Problem 1)
x1(t) und x2(t) sind Lösungen einer separierbaren ordentlichen Differenzialgleichung (separable right hand side). Ist die Gleichung x1(t1)=x2(t2) für t1 erfüllbar?

Habe hier keine Ahnung wie ich anfangen soll bzw. wie ich dieses Problem lösen soll, wäre über eine Erklärung des Rechenweges sehr froh!

Problem 2)
Ist das set {(x,y)element von (R^2) :y>-x^4}

Das > steht hier für größer oder gleich, keine Ahnung wie ich das richtige Zeichen dafür machen kann.

Auch hier wäre eine Erklärung hilfreich.

Vielen Danke!

Imp_eleven

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78

27.08.2009, 22:06

prob 2)

ich schreib >= für grösser gleich^^

damit sind einfach alle kombinationen (x,y) gemeint für welche y grösser gleich -x^4 ist. zb (1,-1) oder (3,5). (1,-4) wär aber zum beispiel nicht möglich.

prob 1) weiss ich nicht was du meinst^^

]I[Michi

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79

27.08.2009, 22:35

oha ich hab bei problem 2 die Frage zum Set vergessen :-)

Die lautet: Ist das Set konvex? Ist es kompakt? Warum?

___

Zu 1) Ich hab Mathe bis jetzt immer nur auf Englisch gemacht, deshalb habe ichs wahrscheinlich blöd übersetzt, ich schreib das Problem nochmal auf englisch hin:

Let x1(t) and x(2)t be two particular solutions of an ODE (ordinary differential equation) with a separable right hand side. Is it possible that x1(t1)=x2(t2)

]I[Michi

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80

28.08.2009, 12:40

Um meine Frage zu 2 zu konkretisieren:

Wie komme ich von diesem Definitionsbereich auf eine Funktion die ich dann darauf prüfen kann ob sie konvex und kompakt ist?

Imp_eleven

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81

28.08.2009, 13:34

zeichne die menge auf und dann siehst das schon. zu rechnen gibts da nichts. so aufgaben sind eh behindert. schau dir einfach die lösung an^^

]I[Michi

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82

28.08.2009, 13:37

habe eben keine Lösung das ist das Problem, sonst würde ichs mir selbst irgendwie zusammenreimen :-)

MfG_Stefan

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83

28.08.2009, 14:29

ich würde mir y=-x^4 anschauen und danach überlegen wie die menge ausschaut, wie konvex und kompakt definiert sind usw.

Chevron

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84

28.08.2009, 18:29

Zitat

Original von ]I[Michi
Da in diesem Forum immer schnelle Hilfe naht komme ich wieder mit einigen Problemchen zu euch. Bin gerade am Mathe lernen und komm nicht so recht weiter.

Problem 1)
x1(t) und x2(t) sind Lösungen einer separierbaren ordentlichen Differenzialgleichung (separable right hand side). Ist die Gleichung x1(t1)=x2(t2) für t1 erfüllbar?
___

Zu 1) Ich hab Mathe bis jetzt immer nur auf Englisch gemacht, deshalb habe ichs wahrscheinlich blöd übersetzt, ich schreib das Problem nochmal auf englisch hin:

Let x1(t) and x(2)t be two particular solutions of an ODE (ordinary differential equation) with a separable right hand side. Is it possible that x1(t1)=x2(t2)

Die Übersetzung ist wirklich etwas unglücklich.
ordinary = gewöhnlich != ordentlich
ordinary differential equation = Gewöhnliche Dgl. (d.h. es treten nur Ableitungen nach einer einzigen Variablen auf, im Gegensatz zu Partiellen Dgl.en)

Trotzdem fehlt da noch etwas bei der Fragestellung, denn t1 und t2 sind noch nicht näher definiert.

Zitat

Original von ]I[Michi
Problem 2)
Ist das set {(x,y)element von (R^2) :y>-x^4}

oha ich hab bei problem 2 die Frage zum Set vergessen :-)

Die lautet: Ist das Set konvex? Ist es kompakt? Warum?

Die Menge (engl. set = Menge) ist nicht konvex.

Eine kompakte Menge (im IR^2) muss mit je zwei Punkten immer auch alle Punkte auf der Verbindungslinie enthalten. Das sind die sogenannten Konvexkombinationen, und für zwei Punkte (x1,y1), (x2,y2) haben die Konvexkombinationen die Form
a * (x1,y1) + (1-a) * (x2,y2)
mit a zwischen 0 und 1. Für a=0 bekommt man (x2,y2), und für a=1 bekommt man (x1,y1). Für a=0.5 erhält man den Mittelpunkt, usw.

Die angegebene Menge enthält z.B. die Punkte (1,-1) und (-1,-1), aber nicht deren Mittelpunkt (0,-1). Damit kann sie nicht konvex sein.

Um umgekehrt zu zeigen, dass eine Menge wie
{ (x,y) in IR^2 : y>=x^4 }
konvex ist (das Vorzeichen ist anders), kann man den Zusammenhang nutze, dass eine Funktion genau dann konvex ist, wenn ihr Epigraph (das ist die Fläche über dem Funktionsgraphen) konvex ist.


"Kompakt" bedeutet im Endlichdimensionalen immer "abgeschlossen und beschränkt". Die Menge ist aber nicht beschränkt, denn sie enthält z.B. alle Punkte mit y>0. Für diese Punkte ist ja
y > 0 >= -x^4 .

Da die Menge nicht beschränkt ist, kann sie auch nicht kompakt sein.

]I[Michi

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85

28.08.2009, 19:48

Danke für die Erklärung! Jetzt wird mir einiges klarer, gerade bin ich jetzt auch auf den Ausdruck "Is the set bounded?" gestoßen, wie kann ich das überprüfen?

zu 1)

Die Frage ist 1:1 so aus der letztjährigen Prüfung abgeschrieben, müsste also alles dabei sein, differentialgleichungen zu lösen fällt mir nicht schwer aber von den Lösungen auf die Funktion zu kommen wie hier wahrscheinlich nötig, ist für mich ein unlösbares Problem...

]I[Michi

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86

28.08.2009, 20:57

und noch eine Frage:

Ich habe eine Matrix A und soll die Eigenvektoren + Eigenwerte für: (A^3)-(A^-1) berechnen.

Muss ich zuerst A*A*A numerisch lösen, dann die invertierten Matrix vom Ergebnis subtrahieren und vom Ergebnis dann die Eigenvektoren ausrechnen?

Dafür brauche ich ohne programmierbaren Taschenrechner ja Ewigkeiten! - Gibts irgend eine Regel mit der ich das Problem schneller lösen kann?

AtroX_Worf

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87

28.08.2009, 21:29

Wie groß ist denn A, oder ist es allgemein als nxn-Matrix gegeben?

Hast du noch irgendwelche Eigenschaften der Matrix gegeben? Zumindest schonmal invertierbar?!

Ansonsten stell dir mal vor, wie die Matrix der zur Matrix A zugehörige lineare Abbildung mit Basis aus den Eigenvektoren aussieht. Was passiert bei A^3, was bei A^-1?

Chevron

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88

28.08.2009, 21:49

Zitat

Original von ]I[Michi
Danke für die Erklärung! Jetzt wird mir einiges klarer, gerade bin ich jetzt auch auf den Ausdruck "Is the set bounded?" gestoßen, wie kann ich das überprüfen?

Eine Menge ist beschränkt (bounded), wenn man eine "Maximalgröße" für die Elemente der Menge angeben kann.
Anschaulich bedeutet das in etwa, dass die Menge sich in keine Richtung unendlich weit ausdehnt.

Dass eine Menge beschränkt ist, zeigt man, indem man die Größe (= Betrag bzw. Norm) eines beliebigen Elementes (über das nichts weiter bekannt ist, außer dass es in der Menge liegt) nach oben abschätzt. Bei Vektoren (im IR^n) kann man das auch komponentenweise zeigen, d.h., wenn x und y beschränkt sind, dann auch (x,y).

Dass eine Menge nicht beschränkt ist, kann man nicht durch ein einzelnes Element zeigen, da das eine Element ja nicht unendlich groß ist. Stattdessen nimmt man sich eine Folge von Elementen, deren Größe gegen unendlich geht, und die alle in der Menge liegen. Dann kommt man, wenn man die Folge weit genug durchläuft, über jede beliebige Schranke drüber.

Zitat

Original von ]I[Michi
zu 1)

Die Frage ist 1:1 so aus der letztjährigen Prüfung abgeschrieben, müsste also alles dabei sein, differentialgleichungen zu lösen fällt mir nicht schwer aber von den Lösungen auf die Funktion zu kommen wie hier wahrscheinlich nötig, ist für mich ein unlösbares Problem...

Hast du den Ausschnitt evtl. als PDF?

Zitat

Original von ]I[Michi
und noch eine Frage:

Ich habe eine Matrix A und soll die Eigenvektoren + Eigenwerte für: (A^3)-(A^-1) berechnen.

Probier doch mal einen Eigenvektor v von A (mit Eigenwert c) aus. Benutze dann
A*v = c*v
(A^2)*v = (A*A)*v = A*(A*v) = A*c*v = c*(A*v) = ...

Für A^(-1) benutze
v = [A^(-1)*A]*v = A^(-1)*(A*v) = ...

Chevron

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90

28.08.2009, 22:17

OK, der Index war's: x1(t1)=x2(t1) ;)

Wir haben also zu der Dgl. zwei Lösungen, und die Frage ist, ob sich diese beiden Lösungen in einem Punkt treffen können.

Tip: Anfangswertproblem und Satz von Picard-Lindelöf :)