Stochastik

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OoK_Isch

Erleuchteter

Beiträge: 4 115

Wohnort: Hildesheim

Beruf: GER

21.08.2008, 14:53

Stochastik

Ich schreibe nächste Woche eine Stochastik-Klausur und mochte Stochastik schon in der Schule nicht :/
Könnte also sein dass hier noch ein paar mehr Aufgaben landen *g*

Zitat

In einer Kirschtorte befinden sich drei Kerne. Die Torte werde in 4 gleiche Teile zerschnitten. Man berechne die Wahrscheinlichkeiten der folgenden Ereignisse:

a) alle Kerne befinden sich in einem bestimmten Stück <- darum gehts
b) alle Kerne konzentrieren sich in einem Stück (edit)
c) die Kerne verteilen sich in verschiedenen Stücken

Mein primitiver Ansatz zu a) war (falsch):

Ich habe vier Kuchenstücke, drei Kerne.
Ich nehme meinen ersten Kern, tue ihn in den Kuchen. Mit einer Wkeit von 1/4 erwische ich das "bestimmte" Stück.
Dann nehme ich den zweiten, tue ihn auch in den Kuchen und erwische wieder mit einer Wkeit von 1/4 eben das "bestimmte" Stück.
Analog für den dritten Kern.
=> 1/4 * 1/4 * 1/4

Wo ist der Denkfehler?

Dieser Beitrag wurde bereits 1 mal editiert, zuletzt von »OoK_Isch« (21.08.2008, 15:17)

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Antares

Meister

Beiträge: 1 899

Beruf: GER

21.08.2008, 15:09

Also das ist bei mir ja schon ein paar Jahrzehnte her, aber so aus der Hüfte geschossen würde ich sagen, auf dein Ansatz bezogen, wo der erste Kern landet ist wumpe, es müssen nur die beiden anderen im selben Stück landen.

Antares, der dir hoffentlich einen Denkanstoß geben konnte

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OLV_sid_meier

Erleuchteter

Beiträge: 4 621

21.08.2008, 15:11

das erste viertel musst du weglassen, da mit p=1,0 der erste kern in einem der viertel landet, daher sind nur der 2. und 3. kern relevant

sid_meier, der bisserl zu langsam war

Dieser Beitrag wurde bereits 1 mal editiert, zuletzt von »OLV_sid_meier« (21.08.2008, 15:12)

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OoK_Isch

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Beiträge: 4 115

Wohnort: Hildesheim

Beruf: GER

21.08.2008, 15:16

Mh, es gibt noch einen weiteren Aufgabenteil:

Zitat

alle Kerne konzentrieren sich in einem Stüuck

Da würde ich das auch so machen, aber in dem ersten Fall wird das Teil offenbar "vorher" festgelegt...

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OLV_sid_meier

Erleuchteter

Beiträge: 4 621

21.08.2008, 15:24

dann seh ich keinen denkfehler.

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OoK_Isch

Erleuchteter

Beiträge: 4 115

Wohnort: Hildesheim

Beruf: GER

21.08.2008, 15:32

Also die richtige Lösung sollte sein:

(da kommt dann 5% raus, bei (1/4)³ kommt ~1,5% raus)

Aber wie gesagt, ich versteh nicht wieso

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kOa_Master

Erleuchteter

Beiträge: 12 493

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21.08.2008, 16:35

huch sieht diese formel kompliziert aus^^
was ist dort "k" ?

für deinen fall kann man das ja noch per "überlegung" machen:

a) alle kerne in irgendeinem stück
1 * 1/4 * 1/4
= 6,25%

b) alle kerne in einem bestimmten stück
1/4 * 1/4 * 1/4
= ~1,55%

c) alle kerne in verschiedenen stücken
4/4 * 3/4 * 2/4
= 37,5%

das müssten die lösungen sein...

Dieser Beitrag wurde bereits 1 mal editiert, zuletzt von »kOa_Master« (21.08.2008, 16:41)

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GWC_duke2d

Meister

Beiträge: 2 898

Beruf: GER

21.08.2008, 16:35

klingt komisch... is aber so

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OoK_Isch

Erleuchteter

Beiträge: 4 115

Wohnort: Hildesheim

Beruf: GER

21.08.2008, 16:52

Hier mal der Auszug aus dem Skript, der sich mit der Formel beschäftigt, die in der Lösung zu sehen ist.

Bezogen auf die Aufgabe:
Das unterm Bruchstrich gibt die Anzahl der Möglichkeiten an, um 3 Kerne auf 4 Stücke zu verteilen. Das sind 20.
Das überm Bruchstrich gibt die Anzahl der Möglichkeiten an, bei der sich alle 3 Kerne in einem bestimmten Stück befinden. Dafür gibt es exakt eine Möglichkeit.
Da alle Möglichkeiten gleich wahrscheinlich sind, ergibt sich die Wahrscheinlichkeit zu 1/20 => 5%

Das macht für mich so zum nachvollziehen Sinn. Aber der (1/4)³-Ansatz macht für mich auch Sinn. Leider führen beide Wege zu unterschiedlichen Ergebnissen.

Welcher ist richtig und warum ist der andere falsch?

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kOa_Master

Erleuchteter

Beiträge: 12 493

Wohnort: Basel

Beruf: CH

21.08.2008, 21:41

Zitat

Original von OoK_Isch
Hier mal
Das unterm Bruchstrich gibt die Anzahl der Möglichkeiten an, um 3 Kerne auf 4 Stücke zu verteilen. Das sind 20.

knackpunkt ist das hier

die annahme, dass es nur 20 möglichkeiten gibt, 3 kerne auf 4 kuchenstücke zu verteilen ist imo falsch?

Dieser Beitrag wurde bereits 1 mal editiert, zuletzt von »kOa_Master« (21.08.2008, 21:41)

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zecher_fleischi

Schüler

Beiträge: 99

22.08.2008, 07:51

bei nicht unterscheidbaren Kernen gibt es nur 20 Möglichkeiten

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GEC|Napo

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Beiträge: 8 654

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22.08.2008, 08:59

1/4³ ist richtig. sehe da kein Problem, hab mir jetzt aber auch nicht alles durchgelesen.

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OoK_Isch

Erleuchteter

Beiträge: 4 115

Wohnort: Hildesheim

Beruf: GER

22.08.2008, 10:56

@master/fleischi: Jo, 20 Möglichkeiten kriegt man leicht zusammengezählt:
Fall 1: Alle Kerne in einem Stück -> 4 Möglichkeiten
Fall 2: Zwei Kerne in einem Stück, ein Kern in einem anderen Stück -> 4 * 3 = 12 Möglichkeiten
Fall 3: Alle Kerne in unterschiedlichen Stücken -> 4 Möglichkeiten

=> 20 Möglichkeiten

@Napo: Wenn 1/4³ richtig ist, wo und warum ist das andere dann falsch?

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kOa_Master

Erleuchteter

Beiträge: 12 493

Wohnort: Basel

Beruf: CH

22.08.2008, 12:11

Das Problem ist das ausser Acht lassen der Reihenfolge, womit mehrere Permutationen entstehen.

Am Beispiel von "alle Kerne in unterschiedlichen Stücken" gibt es z.B. insgesamt 24 Möglichkeiten mit beachten der Reihenfolge.
4 für den ersten, 3 für den tweiten, 2 für den dritten Kern.
jeweils 6 von diesen Lösungen sehen zwar exakt gleich aus (bcd, bdc, cbd, cdb, dbc, dcb), aber sind anders zustande gekommen...

Für dein Problem ist tatsächlich die Reihenfolge uninteressant, da ja alle Kerne gleich sind und somit stimmt dein Fall der (n - 1 + k über k). War wohl bloss verwirrt wegen der Umbenennung von n und N.

edit: und jetzt wpnscht mir viel glück bei der letzten von insgesamt 8 prüfungen...lineare algebra :baaa:

Dieser Beitrag wurde bereits 1 mal editiert, zuletzt von »kOa_Master« (22.08.2008, 12:11)

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zecher_fleischi

Schüler

Beiträge: 99

22.08.2008, 12:48

kann es sein, dass die 20 unterscheidbaren Möglichkeiten ungleich wahrscheinlich sind?
z. b. maxmal ein Kern in einem Stück: 4 unterscheidbare Möglichkeiten aber jede dieser Möglichkeiten kann auf 6 verschiedene Arten entstehen usw. (analog einer Zufallsvariablen beim Würfeln mit nicht unterscheidbaren Würfeln)
dann doch wieder p=1/ 4^3?
*verwirrtsei*

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Sheep

Erleuchteter

Beiträge: 4 172

Beruf: GER

22.08.2008, 13:28

Zitat

Original von zecher_fleischi
kann es sein, dass die 20 unterscheidbaren Möglichkeiten ungleich wahrscheinlich sind?

Ja. P(alle in Stück 1) ist 1/4^3, denn es gibt nur eine mögliche Verteilung der Kerne. P(zwei in Stück 1, eins in Stück 2) ist schon 3/4^3, denn die beiden Kerne in Stück 1 können Nr. 1 und 2 sein, 2 und 3 oder auch 1 und 3. Der dritte Kern ist entsprechend der fehlende. Die Reihenfolge spielt hier keine Rolle.

Daher würde ich sagen, dass 1/4^3 für P(alle in einem bestimmten Stück) richtig ist.