Stochastik

OoK_Isch

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1

Thursday, August 21st 2008, 2:53pm

Ich schreibe nächste Woche eine Stochastik-Klausur und mochte Stochastik schon in der Schule nicht :/
Könnte also sein dass hier noch ein paar mehr Aufgaben landen *g*

Quoted

In einer Kirschtorte befinden sich drei Kerne. Die Torte werde in 4 gleiche Teile zerschnitten. Man berechne die Wahrscheinlichkeiten der folgenden Ereignisse:

a) alle Kerne befinden sich in einem bestimmten Stück <- darum gehts
b) alle Kerne konzentrieren sich in einem Stück (edit)
c) die Kerne verteilen sich in verschiedenen Stücken

Mein primitiver Ansatz zu a) war (falsch):

Ich habe vier Kuchenstücke, drei Kerne.
Ich nehme meinen ersten Kern, tue ihn in den Kuchen. Mit einer Wkeit von 1/4 erwische ich das "bestimmte" Stück.
Dann nehme ich den zweiten, tue ihn auch in den Kuchen und erwische wieder mit einer Wkeit von 1/4 eben das "bestimmte" Stück.
Analog für den dritten Kern.
=> 1/4 * 1/4 * 1/4

Wo ist der Denkfehler?

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Antares

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2

Thursday, August 21st 2008, 3:09pm

Also das ist bei mir ja schon ein paar Jahrzehnte her, aber so aus der Hüfte geschossen würde ich sagen, auf dein Ansatz bezogen, wo der erste Kern landet ist wumpe, es müssen nur die beiden anderen im selben Stück landen.

Antares, der dir hoffentlich einen Denkanstoß geben konnte

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OLV_sid_meier

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3

Thursday, August 21st 2008, 3:11pm

das erste viertel musst du weglassen, da mit p=1,0 der erste kern in einem der viertel landet, daher sind nur der 2. und 3. kern relevant

sid_meier, der bisserl zu langsam war

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OoK_Isch

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4

Thursday, August 21st 2008, 3:16pm

Mh, es gibt noch einen weiteren Aufgabenteil:

Quoted

alle Kerne konzentrieren sich in einem Stüuck

Da würde ich das auch so machen, aber in dem ersten Fall wird das Teil offenbar "vorher" festgelegt...

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OLV_sid_meier

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5

Thursday, August 21st 2008, 3:24pm

dann seh ich keinen denkfehler.

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OoK_Isch

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6

Thursday, August 21st 2008, 3:32pm

Also die richtige Lösung sollte sein:

(da kommt dann 5% raus, bei (1/4)³ kommt ~1,5% raus)

Aber wie gesagt, ich versteh nicht wieso

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kOa_Master

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7

Thursday, August 21st 2008, 4:35pm

huch sieht diese formel kompliziert aus^^
was ist dort "k" ?

für deinen fall kann man das ja noch per "überlegung" machen:

a) alle kerne in irgendeinem stück
1 * 1/4 * 1/4
= 6,25%

b) alle kerne in einem bestimmten stück
1/4 * 1/4 * 1/4
= ~1,55%

c) alle kerne in verschiedenen stücken
4/4 * 3/4 * 2/4
= 37,5%

das müssten die lösungen sein...

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GWC_duke2d

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8

Thursday, August 21st 2008, 4:35pm

klingt komisch... is aber so

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OoK_Isch

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9

Thursday, August 21st 2008, 4:52pm

Hier mal der Auszug aus dem Skript, der sich mit der Formel beschäftigt, die in der Lösung zu sehen ist.

Bezogen auf die Aufgabe:
Das unterm Bruchstrich gibt die Anzahl der Möglichkeiten an, um 3 Kerne auf 4 Stücke zu verteilen. Das sind 20.
Das überm Bruchstrich gibt die Anzahl der Möglichkeiten an, bei der sich alle 3 Kerne in einem bestimmten Stück befinden. Dafür gibt es exakt eine Möglichkeit.
Da alle Möglichkeiten gleich wahrscheinlich sind, ergibt sich die Wahrscheinlichkeit zu 1/20 => 5%

Das macht für mich so zum nachvollziehen Sinn. Aber der (1/4)³-Ansatz macht für mich auch Sinn. Leider führen beide Wege zu unterschiedlichen Ergebnissen.

Welcher ist richtig und warum ist der andere falsch?

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kOa_Master

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10

Thursday, August 21st 2008, 9:41pm

Quoted

Original von OoK_Isch
Hier mal
Das unterm Bruchstrich gibt die Anzahl der Möglichkeiten an, um 3 Kerne auf 4 Stücke zu verteilen. Das sind 20.

knackpunkt ist das hier

die annahme, dass es nur 20 möglichkeiten gibt, 3 kerne auf 4 kuchenstücke zu verteilen ist imo falsch?

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zecher_fleischi

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Friday, August 22nd 2008, 7:51am

bei nicht unterscheidbaren Kernen gibt es nur 20 Möglichkeiten

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GEC|Napo

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Friday, August 22nd 2008, 8:59am

1/4³ ist richtig. sehe da kein Problem, hab mir jetzt aber auch nicht alles durchgelesen.

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OoK_Isch

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Friday, August 22nd 2008, 10:56am

@master/fleischi: Jo, 20 Möglichkeiten kriegt man leicht zusammengezählt:
Fall 1: Alle Kerne in einem Stück -> 4 Möglichkeiten
Fall 2: Zwei Kerne in einem Stück, ein Kern in einem anderen Stück -> 4 * 3 = 12 Möglichkeiten
Fall 3: Alle Kerne in unterschiedlichen Stücken -> 4 Möglichkeiten

=> 20 Möglichkeiten

@Napo: Wenn 1/4³ richtig ist, wo und warum ist das andere dann falsch?

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kOa_Master

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Friday, August 22nd 2008, 12:11pm

Das Problem ist das ausser Acht lassen der Reihenfolge, womit mehrere Permutationen entstehen.

Am Beispiel von "alle Kerne in unterschiedlichen Stücken" gibt es z.B. insgesamt 24 Möglichkeiten mit beachten der Reihenfolge.
4 für den ersten, 3 für den tweiten, 2 für den dritten Kern.
jeweils 6 von diesen Lösungen sehen zwar exakt gleich aus (bcd, bdc, cbd, cdb, dbc, dcb), aber sind anders zustande gekommen...

Für dein Problem ist tatsächlich die Reihenfolge uninteressant, da ja alle Kerne gleich sind und somit stimmt dein Fall der (n - 1 + k über k). War wohl bloss verwirrt wegen der Umbenennung von n und N.

edit: und jetzt wpnscht mir viel glück bei der letzten von insgesamt 8 prüfungen...lineare algebra :baaa:

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zecher_fleischi

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Friday, August 22nd 2008, 12:48pm

kann es sein, dass die 20 unterscheidbaren Möglichkeiten ungleich wahrscheinlich sind?
z. b. maxmal ein Kern in einem Stück: 4 unterscheidbare Möglichkeiten aber jede dieser Möglichkeiten kann auf 6 verschiedene Arten entstehen usw. (analog einer Zufallsvariablen beim Würfeln mit nicht unterscheidbaren Würfeln)
dann doch wieder p=1/ 4^3?
*verwirrtsei*

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Sheep

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Friday, August 22nd 2008, 1:28pm

Quoted

Original von zecher_fleischi
kann es sein, dass die 20 unterscheidbaren Möglichkeiten ungleich wahrscheinlich sind?

Ja. P(alle in Stück 1) ist 1/4^3, denn es gibt nur eine mögliche Verteilung der Kerne. P(zwei in Stück 1, eins in Stück 2) ist schon 3/4^3, denn die beiden Kerne in Stück 1 können Nr. 1 und 2 sein, 2 und 3 oder auch 1 und 3. Der dritte Kern ist entsprechend der fehlende. Die Reihenfolge spielt hier keine Rolle.

Daher würde ich sagen, dass 1/4^3 für P(alle in einem bestimmten Stück) richtig ist.