MastersForum

Sry das hatte ich nicht ^^
Vielleicht ist Sheep dein Retter.

Bei mir kommt genau 5 raus 0_o

das ist doch studiums-stoff oder und ich muss mich nicht doof fühlen, weil ich das mit meinem 12er Vektorstoff nicht lösen kann?!

In der Schule ging es bei mir nur bis Vektorebenen im Raum. In Chemie brauch ich jedenfalls keine Vektorräume

du musst jeweils die Definitionen durchprobieren.
D.h. z.B. ist ein Vektorraum eine abelsche Gruppe bezüglich der Vektoraddition. Deswegen fliegt der erste gleich raus.
Denn z.B. für a=(1,0) und b=(0,1) gilt jeweils 1²+0²=1 also sind beide Vektoren Elemente der Menge.
Aber a+b=(1,1) aber 1²+1²=!1
=> keine Gruppe bezüglich der Vektoraddition
D.h. immer Gegenbeispiele finden, bei nem echten Vektorraum wird es natürlich schwieriger, denn da muß man zeigen, daß das alles gilt.
Also auch noch Körper bezüglich Skalarmult. und Skalaradd. usw.

ja, in der schule bekommt man lagebeziehungen von ebenen im raum, schnittwinkel von geraden im raum usw, aber das hier: noch nie gesehen

WTF !?´da raff ich nich ein wort !

was kann man damit in seinem leben anfangen ? ^^

Sachen Rechnen, die Computer noch nicht so drauf haben. Trotzdem finde ich Mathe zu studieren setzt schon starkes Interesse voraus sich mit viel imaginären Dingen zu beschäftigen, ähnlich wie bei Philosophie.

Das ist ganz leicht.. wie Stefan schon sagte, mann muss nur die Axiome des Vektorraumes überprüfen (8 an der Zahl, wenn ich mich recht erinnere).

Ich werds mal für c) exemplarisch vorführen:

1) (a+b)+c=a+(b+c) muss gelten für alle a,b,c € V

sieht man leicht ein, die die Vektoraddition komponentenweise definiert ist und in Q die Assoziativität gilt.

2) a+b=b+a

auch leicht, Q bildet gegenüber der Addition eine abelsche (kommutative) Gruppe

3) a+0 (:=Nullvektor) = 0+a = a

0 ist einfach (0,0). Wie man sieht, ist x1=x2, er ist somit Element aus V und die Eigenschaft des neutralen Elementes erfüllt er auch.

4) Inverser Vektor: -a

Naja.. -(x1,x2) ist einfach (-x1,-x2)



5) r(a+b)=ra+rb für alle r € Q

braucht man auch nicht zeigen, ist unmittelbar einzusehen.

6) (r+s)a= ra + sa für alle r,s € Q

Auch das sieht man gleich..

7) (rs)a=r(sa)

Auch erfüllt

8.) Neutrales bezüglich der skalaren Multiplikation

Gilt, weil 1*(x1,x2) ist immer (x1,x2) für alle a € V


=> somit sind alle Axiome des Vektorraumes erfüllt und V bildet einen Vektorraum über Q. Analog zeigt oder widerlegt man die anderen Beispiele. Hoffe, geholfen zu haben.

EDIT:

So nach raschem Überfliegen würd ich sagen: das erste ist natürlich kein Vektorraum, wie Stefan schon zeige, b) schaut auch recht unwahrscheinlich aus, da wird sich sicher ein Gegenbsp finden lassen, d) schaut gut aus.. seh aufn ersten Blick kein Axiom, das verletzt wäre.. ist ja größer gleich..

Zitat

Original von _Wanderer_Xen
Noch ne andere Frage: vierte Wurzel aus -1? Mathematica sagt einfach (-1)^1/4, gibt es dafür noch einen anderen Ausdruck, wenn ja welchen?

Also selbst habe ich es nicht hinbekommen, aber per Google war es zu finden. Die Wurzel aus i ist...

Zitat

p+ip, wobei p die positive oder negative Wurzel von 1/2 ist. Dies kannst du leicht mit den binomischen Formeln verifizieren: (p+ip)(p+ip)=i

Quelle: http://www.math.unizh.ch/fachverein/foru…l.jsp?FORUM=280

Ich weiß jetzt nicht, was bei euch K² (Restklassen modulo 2?) ist, aber für Q[x] kann ichs ja mal für a) machen..

(x^5+x^4+1):(x²+x+1)=x³-x+1
-x^5-x^4-x³
----------------
-x³+1
x³+x²+x
-------------------
x²+x+1
------------------
0R

(x^5+x^4+1) zerfällt also in (x²+x+1)*(x³-x+1)

Probe:

(x²+x+1)*(x³-x+1)=x^5+x^4+x³-x³-x²-x+x²+x+1=x^5+x^4+1 stimmt :)

b) in C natürlich 5 Nullstellen nach dem Fundamentalsatz der Algebra;
in R: 1 Nullstelle, der Graph schneidet die x-Achse nur in einem Punkt.


c) über Q
(x^5+x^4+x+1):(x²+1)=x³+x²-x-1
-x^5-x³
-------------------
x^4-x³+x+1
-x^4-x²
---------------------
-x³-x²+x+1
x³ +x
--------------------------
-x²+2x+1
x² +1
-------------------------
2x+2 Rest

Also ich vermute mal, bei K² werden die Restklassen gemeint sein, weil dann 2x und 2 so schön wegfällt :) Standardbeispiel, haben wir auch schon gehabt :D

Probe: (x²+1)*(x³+x²-x-1)=x^5+x^4-x³-x²+x³+x²-x-1=
x^5+x^4-x-1..
noch den Rest addieren: x^5+x^4-x-1+2x+2= x^5+x^4+x+1 stimmt :) guter Tag heut, geht alles beim ersten Mal auf :D

zu d) noch kurz:

-1 wär für f(x) über Q eine Nullstelle, über C natürlich auch.., für die Restklassen ist 1 eine Nullstelle

in C hat f(x) wieder 5 Nullstellen

Vielfachheiten muss man halt mit der Holzhammermethode überprüfen ;)

Ahja noch zu der vierten Wurzel aus -1.

Das geht auch über den Satz von de Moivre.

-1 kann man auch schreiben als -1+0i und jetzt in Polarkoordinaten umwandeln.

r=1, Winkel phi= 180=pi;

=> -1 = 1*(cos pi, i*sin pi)

Formel von de Moivre:

r*(cos p, i*sin p)^n =r^n(cos (p*n), i*sin (p*n))

=> -1^(1/4)= (1*cos (pi +2k pi), i sin (pi + 2k pi)^(1/4).. die 2k pi für k=0,1,2,... werden addiert, weil es natürlich mehrere Lösungen geben kann, insg. 4 und die bilden sogar ein regelmäßiges 4-Eck = Quadrat.. das nur nebenbei..

also.. -1^(1/4)= (1*cos (pi +2k pi), i sin (2k pi)^(1/4)

=> (1*cos (pi +2k pi), i sin (pi + 2k pi)^(1/4)= 1*(cos ((pi+2k pi)/4), i sin((pi + 2kp)/4))

das ergibt für k=0 folgende Lösung:

1*(cos (pi/4), i sin (pi /4).. zurückumwandeln in "kartesische Koordinaten": x= r* cos (pi/4), y= r*sin (pi/4)

Naja, der Sinus und der Cosinus haben bei pi/4 beide den Wert 2^0,5/2.. daraus folgt:

1. Lösung.. 2^0,5/2 + 2^0,5/2 * i

Wie man mit einem CAS nachprüfen kann, ist das hoch 4 gerechnet tatsächlich -1


2. Lösung für k=1: einfach 90 Grad weitergehen..

d.h. 1*(cos 3pi/4, i sin 3pi/4)= -2^0,5/2 + 2^0,5/2*i

3. Lösung für k=2: wieder 90 Grad weiter..

4. Lösung für k=3: analog..

5(?) Lösung.. k=4.. da bin ich genau wieder bei k=0, also einmal im Kreis herum sozusagen.. => keine weiteren Lösungen

Naja, das ist allgemein so: zu zeigen, dass etwas nicht ist, dafür genügt ein einziges Gegenbeispiel.. (1,0) und (0,1) hat er nur der Einfachheit halber genommen.. sie sind zwei Vektoren aus V und erfüllen die Bedingung, x1²+x2²=1.. er könnte genausogut (1/wurzel 2, 1/wurzel 2) nehmen.. da gilt auch x1²+x2²=1.. kurzum, er kann jeden beliebigen Vektor nehmen, solange er nur der Bedingung genügt.
Diese Vektoren müssen die Axiome des Vektorraums erfüllen.
a+b muss wieder ein Element der Menge V sein..
(1,0)+(0,1)=(1,1).. nachdem (1,1) nicht mehr die Bedingung x1²+x2²=1 erfüllt, ist der nicht mehr aus V.. Axiom verletzt => kein Vektorraum.

bei b) setze einfach z.b. x3=1.. dann lautet die 2. Gleichung 2x1+3x2=0 und die kann ich dann in die erste Einsetzen und mir 2 beliebige Vektoren basteln, die dann dieser einen Gleichung genügen. Dann überprüfe ich die Axiome des Vektorraumes.. sollten alle erfüllt sein, heißt das aber noch nicht, dass es tatsächlich ein Vektorraum ist.. dann sollte ich versuchen, allgemein, d.h. ohne konkrete Zahlenwerte, nachzuweisen, dass es ein VEktorraum ist..

Achja, auf das hatte ich gar nicht geachtet.. natürlich muss der Nullvektor die beiden Gleichungen erfüllen, tut er aber nicht => kein Vektorraum.