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Induktion/Summe

plah

Sage

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1

Monday, November 21st 2005, 6:52pm

Induktion/Summe

Huhuuu!

:) Ich bräuchte da mal kurz nen kleinen Denkanstoss zu meiner Induktion!

Zu beweisen ist x^n - y^n = (x-y) * ((Summe von j=0 bis n-1) x^j * y^(n-1-j))

Ich bin mir aber nicht ganz sicher, was ich aus ((Summe von j=0 bis n) x^j * y^(n-j)) rausziehen muss, um wieder auf ((Summe von j=0 bis n-1) x^j * y^(n-1-j)) zu kommen, damit ich im Endergebnis auch auf x^(n+1) - y^(n+1) komme.

x^n * y^(-1) rausziehen ist anscheinend falsch, damit komme ich nämlich nur auf (x^(n+1) * y^(-1)) - y^n

Also, wie gehtn das nu? :O
I don't care if you like me!

plah

Sage

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2

Monday, November 21st 2005, 6:55pm

Achja, wenn mir jemand nen Tipp geben könnte, wie man Ungleichungen wie 0(größergleich) a < b => für alle n Element N : 0 (größergleich) a^n < b^n

bzw.

a<b => für alle n Element N : a^(2n+1) < b^(2n+1)

löst, dann wäre ich echt dankbar. Ich brauch auch keine ganze Lösung, sondern nur einen Ansatz... :O :)

GWC_duke2d

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3

Monday, November 21st 2005, 7:48pm

e=mc² :rolleyes:

SRS_Speci

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4

Tuesday, November 22nd 2005, 10:38am

also die Ungleichung ist nicht so schwer denke ich...

dividiere auf beiden Seiten durch a^(n-1)

dann steht da:

a < b * (b/a)^n-1

b/a ist größer als 1, also kannst du es mit 1 abschätzen

dann steht da

a < b

oder hab ich da etwas verwendet was ich nicht darf?

die Induktion ist echt knifflig, viel Spass damit ;)

Springa

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5

Tuesday, November 22nd 2005, 4:17pm

Induktion:

z.z.: (x^(n+1)-y^(n+1))= (x-y)* sum (j=0;n) [ x^j * y^(n-j)]

(x-y)* sum (j=0;n) [ x^j * y^(n-j)] = (x-y)* [ y* sum (j=0;n-1) [x^j * y^(n-1-j)] + x^n] =
= x^n*y - y^(n+1) + x^(n+1) - y*x^n= x^(n+1) - y^(n+1)

Sheep

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6

Tuesday, November 22nd 2005, 4:21pm

RE: Induktion/Summe

Quoted

Original von plah
Huhuuu!

:) Ich bräuchte da mal kurz nen kleinen Denkanstoss zu meiner Induktion!

Zu beweisen ist x^n - y^n = (x-y) * ((Summe von j=0 bis n-1) x^j * y^(n-1-j))


Klappt für n = 0, Summe von j = 0 bis -1 von irgendwas ist ja 0.

Bleibt zu zeigen...

x^(n+1) - y^(n+1)

= (x-y) * [ (Summe von j=0 bis n) x^j * y^(n-j) ]

Ein wenig knifflig, da sich im unteren Teil gleich zwei Dinge geändert haben, man kriegt es aber hingebogen...

1. y aus der Summe rausziehen

=> (x-y) * y * [ (Summe von j=0 bis n) x^j * y^(n-1-j) ]

2. letzten Summanden (j = n) rausziehen

=> (x-y) * y * { [ (Summe von j=0 bis n-1) x^j * y^(n-1-j) ] + x^n * y^(-1) }

Die Summe in der Mitte ist jetzt fast das gleiche wie die rechte Seite der Behauptung oben, bis auf den Faktor (x-y).