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Mathe Frage: Absolute Konvergenz alternierender Reihen

ZXK_BallBreaker

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  • "ZXK_BallBreaker" started this thread

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1

Tuesday, January 15th 2008, 11:04am

Mathe Frage: Absolute Konvergenz alternierender Reihen

Hi Leute

Bei mir hat sich ein leichtes Verständisproblem aufgetan:

Ich soll beweisen, dass die Reihe (-1)^k * (k+1 / 2^k) ABSOLUT konvergiert. Nun ja, die "normale" Konvergenz hat man ja schnell mit dem Leibnitz Kriterium bewiesen, aber wie weise ich nun die absolute nach.

Eine konvergente Majorante zum Glied (k+1 / 2^k) finden?

Einfach das Wurzel oder Quotientenkriterium auf die ganze Reihe, also (-1)^k * (k+1 / 2^k), anwenden?

Fragen über Fragen, wär cool wenn mir jemand weiterhelfen könnte.

Grüße 8)

_Wanderer_Xen

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2

Tuesday, January 15th 2008, 11:25am

o_O Einfach die Definition benutzen:

Eine reellwertige oder komplexwertige Reihe heißt absolut konvergent, wenn die Reihe der Absolutbeträge konvergiert.

machste mal |a[n]| und guckst, ob das konvergiert. Wenn ja -> absolut.

MfG_Stefan

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3

Tuesday, January 15th 2008, 11:27am

edit: oder doch, Quotientenkriterium müsste klappen. ^^

This post has been edited 2 times, last edit by "MfG_Stefan" (Jan 15th 2008, 11:33am)

Chevron

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4

Tuesday, January 15th 2008, 2:20pm

Da man bei zwei aufeinanderfolgenden Partialsummen einfach mit 2^k kürzen kann, ist

limsup | (k+2 / 2^{k+1}) / (k+1 / 2^k) | = 1/2 < 1

Mit dem Quotientenkriterium folgt dann auch schon die absolute Konvergenz :)