hi
hab jetzt wenig zeit, deshalb nur schnell gleich so im forum gschrieben und nicht im mathcad oder so.
Hoff es is lesbar und richtig (?)
Anm:
ich kürze das integralzeichen mit oberer und unterer intregationsgrenze hier folgendermaßen ab:
I[t;a]
differenzzeichen (|): D[t;a]
Folgendes möchtest du beweisen, wenn ich jetzt richtig gelesen / verstanden hab: (?)
Falls F'(x) = f(x) --> I[t;a] f(x)dx = D[t;a] F(X) = F(t) - F(a)
--> d/dt I[t;a] f(x)dx = F'(t) = f(t) (*A)
also die Ableitung des bestimmten Integrals nach der oberen Integrationsgrenze ist gleich dem Integranden, berechnet an dieser Grenze.
Genauso gilt dann auch:
I[b;t] f(x)dx = D[b;t] = F(b) - F(t)
--> d/dt I[b;t] f(x)dx = -F'(t) = -f(t) (*B)
Also, ist die Ableitung des bestimmten Integrals nach der unteren Integrationsgrenze gleich dem Negativen des Integranden, berechnet an dieser Grenze.
Resultate in *A und *B könenn wir nun verallgemeinern. Dazu seien a(t) und b(t) differenzierbar und f(x) stetig.
--> d/dt I[b(t);a(t)] f(x)dx = f
(b(t)
) b'(t) - f
(a(t)
) a'(t) (*C)
Um das jetzt zu beweisen, nemen wir an, dass F ein unbestimmtes Integral ist mit F'(x) = f(x).
Dann gilt I[v;u] f(x)dx = F(v) - F(u) und auch
I[b(t); a(t)] f(x)dx = F
(b(t)
) - F
(a(t)
)
Nun die Kettenregel anwenden, um die rechte Seite nach t zu differenzieren
--> F'
(b(t)
)b'(t) - F'
(a(t)
) a'(t).
Aber F'
(b(t)
) = f
(b(t)
) und F'
(a(t)
) = f
(a(t)
) , so dass *C resultiert.
Am besten (wenns da keiner im forum mehr wiederlegt^^) schreibst dir das nochmal neu auf, weils it meinen Abkürzungen da "etwas" unübersichtlich is.
Ich hoff du meinst das.
Gar nicht so leicht, das übers Forum zu erklären, hoff ich hab nix vergessen.
