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Zitat

Original von AtroX_Worf
Zufallsvariable T ~ N(30, 4.75)

2.1)
P(T in [24, 36]) = P(T < 36) - P(T < 24) = Phi[(36-30)/4.75] - Phi[(24-30)/4.75],
denn Z = (T-mu)/sigma, Z ~ N(0,1) => Phi(z) ist Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung N(0,1).
Zwischenrechnung: (36-30)/4.75 = (+/- 6)/(19/4) = +/- 24/19
P(T in [24, 36]) = Phi[24/19] - Phi[-24/19] = Phi[24/19] - (1 - Phi[24/19]) = 2*Phi[24/19] - 1 = erf[(19/12)*sqrt(2)] = 0.7935 (gerundet)

2.2)
Gesucht ist das Quantil der Normalverteilung N(30, 4.75), so dass die Wahrscheinlichkeit 1 - 1/180 ist.
Sei z das gesuchte Quantil der Standardnormalverteilung, d.h. z = (Phi^-1)(1-1/180) = - (Phi^-1)(1/180) = 2. 5392 (gerundet, aus Tabelle eines von beiden nehmen).
Transformiere die standardnormalverteilte Zufallsvariable wieder auf die ursprüngliche Normalverteilung. Wenn Z = (T-mu)/sigma, dann ist T = Z*sigma + mu, d.h. das entsprechende Quantil ist t = z*(19/4) + 30 = 42.061 (gerundet). Plant der Schüler also 42.061 min für seine Fahrt ein, so wird diese Zeit nur mit einer Wahrscheinlichkeit von 1/180 überschritten. Wir haben ausgerechnet, dass mit einer Wahrscheinlichkeit von 1 - 1/180 die Zufallsvariable T < 42.061 ist, also P(T < 42.061) = 1 - 1/180.