lipschitz continuous, topology

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Friday, January 30th 2009, 9:00pm

ham wir hier nen topologen? ich bräuchte da infos zu lipschitz stetigkeit in metrischen räumen, maybe ein buch oder paper?

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AtroX_Worf

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2

Friday, January 30th 2009, 9:14pm

wasn genau? Einfach nur Lipschitz-Stetigkeit in metrischen Räumen? wiki sagt da eigentlich alles zu.

€dit: kann mir nicht vorstellen, dass es nur das sein soll...

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[pG]Sunzi

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3

Friday, January 30th 2009, 11:26pm

nein, ich bräuchte aussagen über die "größe" dieser klassen, besonders wenn der zugrunde liegende raum ein funktionenraum ist( vor allem funktionen beschränkter p-variation)
hab nur kein topology buch zur hand und bib macht erst morgen wieder auf ^^

edith: der punkt ist, mich interessiert die klasse der lipschitz funktionen auf den banachraum der stetigen funktionen beschränkter p-variation (urbildmenge kompaktes intervall, norm sup norm + p-variation^{\frac{1}{p}})
konnte mir bisher keine beispiele dieser klasse auser linearen abbildungen konstruieren und steh graqd aufm schlauch

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AtroX_Worf

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4

Friday, January 30th 2009, 11:31pm

Ich habe verschiedene Bücher dazu...
Sprich mich mal im ICQ oder Skype an.

Was meinst du mit "größe"? Die erlaubte Variation?

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AtroX_Worf

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5

Friday, January 30th 2009, 11:57pm

Ich versteh aber irgendwie das Problem nicht, an was du genau hängst.

Banachraum Lipschitz-stetiger Funktionen ist klar. p-Variation sagt mir jetzt so direkt nichts, aber ich schätze mal es ist bounded Variation gemeint, wobei du das Supremum über alle Partitionen des kompakten Intervalls bildest, und zwar bezüglich einer p-Norm.

bounded variation =\sup \sum\limits_{[a,b] \in P} || f(b) - f(a) ||_p

Dann ist das halt ne Funktion, die da nicht zu extrem rumschwankt.

Oder erklär dich mal genauer.

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[pG]Sunzi

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6

Saturday, January 31st 2009, 12:10am

ne p-variation ist die verallgemeinerung von bounded variation:
(\sup\sum |f(t_{i+1}-f_{t_i}|^p)^\frac{1}{p}

jetzt schau ich mir den raum aller stetigen funktionen mit beschr. p-variation auf nem kompakten intervall an

das ganze wird mit der norm |f|:= ||f||_sup+(\sup\sum |f(t_{i+1}-f_{t_i}|^p)^\frac{1}{p}

ein banachraum, nennen wir in W

jetzt interessier ich mich für abbildungen h: W->W, die lipschitz stetig sind
hier finde ich bisher keine außer den linearen, steh halt grad irgendwie aufm schlauch

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AtroX_Worf

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7

Saturday, January 31st 2009, 12:14am

Wieso tut es bspw. sin nicht?

€dit: mein Begriff bounded variation stimmte vielleicht nicht, aber meine Formel sagte doch das gleiche aus wie deine, oder wo ist der Unterschied? ||.||_p ist für mich (|.|^p)^(1/p)

€dit #2: auch surjektiv?

€dit #3: Mal überlegt was passiert, wenn du lim_{n \to \infty} ||.||_p betrachtest?

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[pG]Sunzi

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8

Saturday, January 31st 2009, 12:20am

die p-te wurzel is über der ganzen summe und dem sup

wieso sollte es sin tun? der teil der ||.||_sup norm in meiner norm macht kein stress, das ist klar, aber ich kann beim besten willen die p-variation von sin(X)-sin(Y) nicht abschätzen mit ner konstanten und der p-variation von X-Y

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AtroX_Worf

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9

Saturday, January 31st 2009, 12:25am

<= 2 ?

oder wenn es das Integral über das kompakte Intervall des Betrags der Ableitung ist, sollte sie existieren, so ist das doch zumindest endlich und <= b-a.

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[pG]Sunzi

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Saturday, January 31st 2009, 12:31am

das bringt dann was? abschätzen kann ich die p-variation von dem ding ja ohne problem, nur

ich muss dastehen haben:

p-variation( sin(X)-sin(Y) ) <= K \cdot p-variation ( X-Y)

in den p-variationen tauchen die summanden ala:

|sin(X (t_i+1)) - sin(Y(t_i+1)) - sin(X (t_i)) + sin(Y(t_i))|^p

auf, vorteilhaft wäre es nun, wenn man abschätzen könnte:

|sin(X (t_i+1)) - sin(Y(t_i+1)) - sin(X (t_i)) + sin(Y(t_i))|^p

<=

C\cdot |X (t_i+1) - Y(t_i+1) - X (t_i) + Y(t_i)|^p

da die X,Y beliebig aus dem funktionenraum sind, müsste also gelten:

sup_{x_1-y_1 \neq x_2-y_2} \frac{sin(x_1) - sin(y_1) - sin(x_2) + sin(y_2)}{x_1-y_1-x_2+y_2} < \infty

oder für ne andre abbildung als sin halt, aber ich kann mir grad beim besten willen nichts nicht-lineares vorstellen, was dieses kriterium erfüllt, ist quasi ne erweiterung des lipschitzkriteriums auf die differenz der funktion sin

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AtroX_Worf

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Saturday, January 31st 2009, 1:38am

Here you go:

The p-Variation of Functions - Golubov

und

Continuous Functions of Bounded p-Variation - Golubov

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GEC|Napo

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Saturday, January 31st 2009, 9:51am

Quoted

Original von [pG]Sunzi
hier finde ich bisher keine außer den linearen, steh halt grad irgendwie aufm schlauch

Nehmen wir mal den einfachsten Fall W = R
Dann sind Lipschitzstetige Funktionen:
- lineare
- "antilineare" wie zB die Betragsfunktion
- e^-x²
- 0 für x =< 1, ln(x) für x > 1

Sei doch mal ein bisschen kreativ.

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[pG]Sunzi

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Saturday, January 31st 2009, 11:29am

@worf die kenn ich leider beide schon :-(

@napo:

es geht nicht um den fall W=R, dann wärs easy genug, es geht nur um den fall, in dem W genau so ist wie ichs beschrieben hab und dann bringen dir die normalen lipschitz funktionen nichts, weil du ne differenz von ner differenz abschätzen musst, also 4 teile in deinem betrag hast

edith: zooomg, vll hab ich etz was

edith2: ok ich glaub ich kann meinen beweis soweit abhändern dass ich diese komischen lipschitzfunktionen bzgl der p-variation nicht mehr brauche, aber trotzdem würd mich inetressieren wie die aussehen

edith: jupp passt alles nu, paper nearly ready, thx trotzdem

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[pG]Sunzi

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Sunday, February 1st 2009, 1:03am

@worf

du hats nicht zufällig
http://www.amazon.com/Levy-Processes-Fin…y/dp/0470851562

als ebook? bei uns gibts des nur einmal in der bib und das steht im semesterapparat, will eigentlich nte alles kopieren müssen und find des ganz nice zum daheimhaben, dieses büchlein