Lieblings-Paradoxon

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Friday, June 4th 2010, 4:31pm

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Original von soratax
hatte da noch ma drüber nachgedacht und die aufgabe ist schon eindeutig.

aber das ergebnis ist irgendwie so unintuitiv, dass ich die ganze zeit nach nem denkfehler gesucht hab.

doch schon komisch, dass je mehr infos ich über den einen sohn gebe, ich von 1/3 auf 1/2 komm.

Das Hauptproblem ist hier einfach, dass Mathematik eine eigene Sprache ist (wie Worf schon sagt), die Aufgabe würde niemand so umgangssprachlich ausdrücken.

Aber wenn ich jetzt explizit sagen, ich nehme die Menge der Familien mit 2 Kindern, von denen mindestens 1 Kind männlich und an einem Dienstag geboren ist.

Dann habe ich eine erhöhte (>1/3) Chance, dass beide Kinder männlich sind, da bei 2 männlichen Kindern umgekehrt, die Chance höher ist, dass mindestens 1 davon an einem Dienstag geboren ist.

Rein umgangssprachlich gesehen:

1.Fall
A: Ich habe 2 Kinder, davon ist mindestens 1 männlich.
B: An welchem Tag ist es geboren?
A: Dienstag.
-> Chance bleibt 1/3

2.Fall
A: Ich habe 2 Kinder, davon ist mindestens 1 männlich.
B: Ist dieses Kind an einem Dienstag geboren. (Eher: Ist min. 1 männlich. K. an einem Dienstag geboren)
A: Ja.
-> Chance auf 2 männliche erhöht, da bei 2 männlichen, die Chance höher ist, dass mindestens 1 an einem Dienstag geboren ist.

Das Problem ist also die mathematische Sprache, bzw Betrachtung der Information. Die Mathematik sieht die Aufgabe einfach rein logisch und betrachtet den Dienstag als wichtige Zusatzinformation, wobei es uns umgangssprachlich als sinnlose Zusatzinformation erscheint.

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AtroX_Worf

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Friday, June 4th 2010, 4:55pm

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Original von FodA_Landwirt
-> Chance auf 2 männliche erhöht, da bei 2 männlichen, die Chance höher ist, dass mindestens 1 an einem Dienstag geboren ist.

Stimmt. Man kann es aber genauso gut andersherum sehen, d.h. mit Information anstatt Wahrscheinlichkeit: Die Familie gibt mit dem Dienstag eine Zusatzinformation heraus. Nur wenn beides Jungs sind und am Dienstag geboren sind, dann hilft diese Zusatzinformation nicht weiter.

Wen dem so ist, dann enthält die Zusatzinformation absolut nichts weiteres, weil man mit ihr noch nicht einmal zwischen den beiden Kindern in der Familie unterscheiden könnte. Bei allen anderen zulässigen Paaren von Geschwistern kann ich entweder mit dem Geschlecht oder dem Wochentag zwischen ihnen unterscheiden, d.h. ich erhalte eine echte Information.

Über alle möglichen Fälle gesehen erhalte ich also durch den einen Fall, wo beide Kinder Dienstags-Jungs sind, weniger Informationen. Somit ist auch insgesamt die Wahrscheinlichkeit niedriger.

Quoted

Original von FodA_Landwirt
Das Problem ist also die mathematische Sprache, bzw Betrachtung der Information. Die Mathematik sieht die Aufgabe einfach rein logisch und betrachtet den Dienstag als wichtige Zusatzinformation, wobei es uns umgangssprachlich als sinnlose Zusatzinformation erscheint.

Ich würde es nicht als Problem der mathematischen Sprache abtun, es geht ganz klar um die Art der Informationsbetrachtung. In unserer Umgangssprache haben wir, ohne weiteres, keine Möglichkeit, alle Informationen aus der Aufgabe einzubeziehen - bzw. wir sind an ein Denken gewohnt, welches diese zusätzlichen Informationen sofort als irrelevant aussondert. Insofern stimme ich mit dir überein, sehe das Problem aber eher in der Umgangssprache als der Mathematik.

Gerade das macht es ja zu einem Paradoxon, weil etwas unerwartetes und kontraintuitives richtig ist.

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Sheep

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Monday, June 7th 2010, 6:21pm

Warum sieht Mickey Mouse nicht echter aus?

http://de.wikipedia.org/wiki/Uncanny_Valley

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AtroX_Worf

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Monday, June 7th 2010, 7:12pm

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Original von Sheep
Warum sieht Mickey Mouse nicht echter aus?
http://de.wikipedia.org/wiki/Uncanny_Valley

Da schaut wohl auch einer 30 Rock?!

Es ist zwar interessant, aber als Paradoxon würde ich es jetzt nicht unbedingt bezeichnen...

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Sheep

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Monday, June 7th 2010, 8:06pm

Nein, den Begriff hab ich von der Arbeit, muss mich allerdings nicht selbst mit solchen Phänomen herumärgern.

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Sheep

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Monday, June 7th 2010, 9:56pm

If you try to fail but succeed, which have you done?

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Hummi

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Tuesday, June 8th 2010, 10:13am

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Original von Sheep
If you try to fail but succeed, which have you done?

failed

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fast_boozo

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Tuesday, June 8th 2010, 2:20pm

oh jetzt gehts los... angenommen gott existiert und ist allmächtig, kann er dann einen stein erschaffen, den er selbst nicht heben kann...

lieber wieder zurück zu worfs geschichten

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[AA]Hawk

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Tuesday, June 8th 2010, 8:09pm

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Original von Sheep
If you try to fail but succeed, which have you done?

you tried

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AtroX_Worf

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Saturday, July 10th 2010, 3:31pm

Ok, ich hab wieder eine neue Aufgabe.

In einem Gefängnis gibt es 100 Häftlinge mit Häftlingsnummern 1-100. Diesen wird folgendes Spiel angeboten:
Jeder Häftling wird alleine, ohne Hilfsmittel, in einen Raum gebracht, wo 100 undurchsichtige Boxen stehen, welche auch von 1-100 durchnummeriert sind.
Der Häftling darf jetzt genau die Hälfte dieser Boxen öffnen, d.h. genau 50 verschiedene. Dabei darf er sich die Boxen nach belieben aussuchen. In jeder Box befindet sich eine der 100 Häftlingsnummern, sie sind aber zufällig verteilt (gleichverteilt).

Alle Häftlinge werden freigelassen, wenn jeder einzelne Häftling mit seinen 50 Versuchen seine Häftlingsnummer gefunden hat, ansonsten verbleiben sie im Gefängnis.

Die Häftlinge können sich auf eine Strategie verständigen, bevor der erste von ihnen in den Raum gebracht wird, danach sind sie alle voneinander getrennt und können nicht mehr kommunizieren, bis das Spiel vorbei ist und sie entweder alle jeweils ihre Nummer gefunden und deswegen gewonnen haben oder mindestens einer nicht, und sie verloren haben.

Gibt es Stategien, welche die Wahrscheinlichkeit maximieren, dass jeder einzelne Häftling seine Häftlingsnummer findet und alle das Spiel gewinnen und freigelassen werden?
Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit der besten Strategie?

Ihr könnt auch einfach mal Wahrscheinlichkeiten raten, aber eine kurze Begründung der Abschätzung wäre schon ganz nett.

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GWC|lazy

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Saturday, July 10th 2010, 3:33pm

was ist da jetzt paradox dran

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AtroX_Worf

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Saturday, July 10th 2010, 3:34pm

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Original von GWC|lazy
was ist da jetzt paradox dran

Die mögliche Lösung, welche doch sehr unerwartet ist.

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GEC|Napo

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Saturday, July 10th 2010, 3:36pm

Hm gibt sicher ne vernuenftige Strategie, aber die Oberschranke ist ja auf natuerliche Weise durch 0,5 gegeben.
Reduziert man das Problem auf 2 Boxen und 2 Häftlinge kann man o,5 erreichen indem man festlegt, dass beide unterschiedliche Boxen öffnen. Mal sehen wie man das verallgemeinern kann.

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GEC|Napo

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Saturday, July 10th 2010, 3:42pm

Verstehe ich das richtig, dass das Spiel nicht abgebrochen wird, wenn einer der Häftlinge nicht seine Nummer zieht?

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AtroX_Worf

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Saturday, July 10th 2010, 3:58pm

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Original von GEC|Napo
Verstehe ich das richtig, dass das Spiel nicht abgebrochen wird, wenn einer der Häftlinge nicht seine Nummer zieht?

Dann kannst du das Spiel auch abbrechen, weil nach der Wahrscheinlichkeit gefragt ist, dass sie alle gewinnen und dann entlassen werden.
€dit: Man darf aber keine Informationen daraus ziehen, dass das Spiel noch nicht abgebrochen wurde und daher vor einem selbst alle ihre Nummer gefunden hatten.
Es ist deswegen vielleicht besser, wenn man das Spiel nicht vorher abbrechen lässt.

Ich glaube diese Aufgabe ist sogar was für dich, weil sie eher nicht mit den typischen Mitteln der Stochastik gelöst wird, sondern die Lösungsstrategie aus einem anderen bereich der Mathematik kommt.

€dit: Die Wahrscheinlichkeit ist tatsächlich <= 0,5, damit hätten wir schonmal eine Schranke gefunden.

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pitt82

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Saturday, July 10th 2010, 4:06pm

Man müsste glaub Mehrfachöffnungen minimieren - also beispielsweise sollte jeder nur seine Häftlingsnummer + die nächsten 49 öffnen und wenn das >100 ist halt wieder von vorn anfangen. Bin aber zu faul jetz rumzurechnen

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AtroX_Worf

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Saturday, July 10th 2010, 5:41pm

Also offensichtlich hat jeder Gefangene für sich alleine eine Erfolgswahrscheinlichkeit von 1/2, d.h. zusammen haben alle schlechtestenfalls (1/2)^100 = 2^-100, was eine astronomisch kleine Wahrscheinlichkeit wäre.
Es geht (natürlich) viel besser.

Ein Algebraiker sieht vielleicht sofort die beste Lösung...

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plexiq

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Saturday, July 10th 2010, 5:51pm

kA, habs mir jetzt nur kurz überlegt, aber denke das folgende is optimal:

Wenn man die Häftlinge mit gerader Nummer alle geraden Boxen öffnen lässt, und die Häftlinge mit ungerader Nummer alle ungeraden Boxen ergibt sich:

Gewinnwahrscheinlichkeit für 2*n Häftlinge:
(n!^2)/(2n)!

Für 100 Häftlinge, bzw n=50 wär das imo: 9.91E-30

(Random Boxen wär 0.5^100 bzw 7.88E-31)

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King_of_Pfuizn

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Saturday, July 10th 2010, 5:55pm

sie können sich ja vorher absprechen. D.h. jeder der sein Paket schon geöffnet hat stellt es ganz unten hin. Somit hab der erste eine 1/2 Chance, der zweite aber schon 50/99, der dritte 50/98 und so weiter, der 51. hat dann 100% Chance. Wie man das jetzt allerdings rechnet weiß ich nicht genau.

Oder werden die Pakete jedes mal wieder neu durchgemischt?

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plexiq

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Saturday, July 10th 2010, 6:04pm

^

Falls es erlaubt ist die Boxen neu anzuordnen gehts natürlich noch viel besser. Dann wärs Wahrscheinlichkeit 50% für eine beliebige Anzahl an Häftlingen.

Aber denk der Raum mit den Boxen darf nicht verändert werden.

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pitt82

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Saturday, July 10th 2010, 6:10pm

Ne Veränderung der Boxen würde ich als Kommunikation interpretieren.

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Darkmode

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Saturday, July 10th 2010, 6:15pm

ich denke man darf die boxen anders hinlegen, sonst wäre ja für jeden die ausgangslage IMMER gleich und somit IMMER 50 % b,zw -1 box pro Person.

wenn man sie anders hinlegen darf würde ich meinen das man sie der reihenfolge nach, wie man sie gezogen hat hinlegt, bzw der zweite dann entsprechend einordnet (eventuell mit system, das gestapelt nach 10ner schritten, ecken als 25er usw). dann sucht jeder neue erstmal die eingeordneten in dem bereich durch, in dem seine zahl (falls schonmal geöffnet) liegen müsste und erst danach die anderen, welche noch nicht gezogen wurden. ich denke spätestens nach dem 3. sollte dann die wahrscheinlichekit bei 100 % aller weiteren Personen liegen?

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pitt82

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Saturday, July 10th 2010, 6:21pm

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Original von Darkmode
ich denke man darf die boxen anders hinlegen, sonst wäre ja für jeden die ausgangslage IMMER gleich und somit IMMER 50 % b,zw -1 box pro Person.

Nein. Die Boxen sind ja durchnummeriert. Aber es macht keinen Sinn eine Box zu öffnen in der bereits mit einer Wahrscheinlichkeit von 1:50 der Name eines vorangehenden Häftlings steht.

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plexiq

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Saturday, July 10th 2010, 6:22pm

Falls die Boxen neu geordnet werden dürfen hat bereits der 2. eine Chance von 100%. zB stellt der erste Häftling alle seine geöffneten Boxen in ner 10x10 matrix geordnet nach ihrem Inhalt auf. eg. Box mit Inhalt 23 in Reihe 2, Spalte 3. Alle anderen Häftlinge haben dann entweder schon eine der vorsortierten 50 Boxen, oder sie machen einfach die verbleibenden unsortierten 50 Boxen auf.

Ohne Kommunikation gehts definitiv besser als 50%/person, siehe mein Post oben. (Allerdings nicht viel besser, imo.)

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GEC|Napo

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Saturday, July 10th 2010, 7:36pm

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Original von AtroX_Worf
Ein Algebraiker sieht vielleicht sofort die beste Lösung...

Fu

hab mich vorhin ne Viertelstunde damit beschäftigt ca, hm naja vllt Montag auf der Arbeit

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GWC|lazy

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Saturday, July 10th 2010, 9:39pm

naja er muss die boxen ja nichtmal in ner matrix aufbauen

er stellt immer die 50 nach vorne in denen sich die nummer vom 2. befindet (wenn er sie gefunden hat weiß ers ja, wenn nicht dann sind halt die anderen 50)

der 2. machts genauso mitm dritten und so weiter

-> 50%

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AtroX_Worf

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Sunday, July 11th 2010, 12:10am

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Original von pitt82
Ne Veränderung der Boxen würde ich als Kommunikation interpretieren.

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Original von Darkmode
ich denke man darf die boxen anders hinlegen, sonst wäre ja für jeden die ausgangslage IMMER gleich und somit IMMER 50 % b,zw -1 box pro Person.

Natürlich darf man die Boxen nicht anders hinlegen, sie werden für jeden Häftling wieder in die Ausgangslage gebracht, bevor er den Raum betritt.
Für jeden Einzelnen ist die Ausgangslage immer gleich und er hat deswegen eine 50% Wahrscheinlichkeit, das ist richtig. Jetzt geht es darum, wie man eine Strategie konstruiert, wo die einzelnen Ziehstrategien irgendwie "gekoppelt" sind und man somit eine höhere Gesamtgewinn-Wahrscheinlichkeit erhält.

Ihr könnt ja auch mal Größenordnungen der Wahrscheinlichkeit p der besten Strategie raten/abschätzen, also bis jetzt haben wir 2^-100 <= p <= 1/2.
Wenn ich die Wahrscheinlichkeit der besten Strategie sage, kommt man vielleicht schon drauf.

Für die Algebraiker unter uns (

), die Lösung hat natürlich was mit Permutationen zu tun...

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Rommel

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Sunday, July 11th 2010, 12:26am

ich habe in keinster weise vor mich in irgend einer art und weise produktiv an diesem thread zu beteiligen, aber gestattet mir doch eine kleine frage: seid ihr alle richtig richtig bekloppt ?

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GWC|lazy

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Sunday, July 11th 2010, 12:50am

hm würde auf p=2,89448587495069e-09 kommen, bin aber grad zu blöd meinen ansatz zu formulieren

€: also
nr1 nimmt 1-50 -> 50/100
nr2 nimmt 51-100 -> 50/99, da er ja weiß, dass die zahl von nr1 im ersten block ist, sonst würde ja das spiel abbrechen
nr3 nimmt ? -> 50/98, da hängts bei mir grad, is ja schon spät

für
x=0,5;
for i = 1:50
x=x*(50/(100-i));

kommt ich halt auf den wert hmmm

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AtroX_Worf

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Sunday, July 11th 2010, 1:20am

Ok gut gedacht, daran hatte ich selbst nicht gedacht. Dann darf man das Spiel doch nicht eher abbrechen, weil dadurch dann Informationen gewonnen werden können.

Also kein Häftling erhält irgendwelche Informationen während des Spiels, es liegt alles in der Strategie, welche sie sich vorher ausmachen müssen, und in der Struktur des Problems.

€dit: Ok, ich löse jetzt mal die erste Frage auf:
Die Wahrscheinlichkeit, dass alle Häftlinge ihre Nummer finden, ist bei einer optimalen Strategie größer als 30%.

Dies ist, wie ich finde, erstaunlich und doch sehr überraschend, von 2^-100 auf >0,3 durch eine geeignete Strategie zu kommen.

Wie man dies konkret anstellt lasse ich aber mal noch offen, es ist aber verblüffend einfach.

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MastersForum

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